Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4991. feladat (2018. december)

B. 4991. Artúr és Blanka egy kocka éleit felváltva pirosra festik úgy, hogy minden lépésben olyan élt színeznek ki, amely kitérő az utolsó lépésben kifestett élhez. A színezést Artúr kezdi. Az veszít, aki nem tud lépni. Kinek van nyerő stratégiája?

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy Blanka tud győzni. Ehhez a kocka tizenkét élét hat párba rendezzük úgy, hogy az egyes párokban szereplő élek egymáshoz kitérőek. Így Artúr minden lépése után Blanka ki tudja színezni a (még nyilvánvalóan színezetlen) párját, tehát nem fordulhat elő, hogy ne tudjon lépni. Ezért Artúr előbb-utóbb veszíteni fog, hiszen a játék legfeljebb 12 lépés után biztosan véget ér, tehát Blanka tényleg győz.

Megadunk egy a stratégiához szükséges lehetséges párosítást. Tekintsük a kocka csúcsainak az ábrán szereplő betűzését. Könnyű leellenőrizni, hogy az \(\displaystyle (AB,EH)\), \(\displaystyle (BC,EF)\), \(\displaystyle (CD, BF)\), \(\displaystyle (AD, GC)\), \(\displaystyle (AE, HG)\) és \(\displaystyle (DH, FG)\) párokban az élek egymáshoz kitérőek, és valóban a kocka mind a 12 éle pontosan egyszer szerepel.

Ezzel beláttuk, hogy Blankának van nyerő stratégiája.


Statisztika:

A B. 4991. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai