Problem B. 4993. (December 2018)

B. 4993. A square is drawn over each of legs \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle CA\) of a right-angled triangle \(\displaystyle ABC\). Let \(\displaystyle D\) and \(\displaystyle E\) denote the vertices of the squares that lie opposite to \(\displaystyle C\). Show that the circumscribed circle of triangle \(\displaystyle ABC\) passes through the midpoint of line segment \(\displaystyle DE\).

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AC\) befogójának a hossza \(\displaystyle b\), míg a \(\displaystyle BC\) befogó hossza \(\displaystyle a\). Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög Thalesz-körének a középpontja \(\displaystyle O\), a \(\displaystyle C\) pontnak az \(\displaystyle O\) pontra vonatkozó tükörképe \(\displaystyle C'\), míg a \(\displaystyle DE\) szakasz felezőpontját jelöljük \(\displaystyle F\)-fel (az alábbi ábra szerint).

\(\displaystyle AC'B \measuredangle =90^{\circ}\) a tükrözés miatt, és \(\displaystyle AC'BC\) téglalap. Emiatt a \(\displaystyle C',B,E\) pontok, illetve a \(\displaystyle C',A,D\) pontok is egy-egy egyenesre esnek. A \(\displaystyle C'E\) és a \(\displaystyle C'D\) szakaszok hossza is \(\displaystyle a+b\), emiatt \(\displaystyle DC'E\) derékszögű egyenlőszárú háromszög. Mivel \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle ED\) felezőpontja, ezért \(\displaystyle EFC' \measuredangle =90^{\circ}\).

Másfelől \(\displaystyle ECB \measuredangle = DCA \measuredangle =45^{\circ}\), mivel \(\displaystyle ECB\), illetve \(\displaystyle CDA\) egyenlőszárú derékszögű háromszögek ("fél-négyzetek"), de akkor \(\displaystyle ECD \measuredangle = ECB \measuredangle + BCA \measuredangle + ACD \measuredangle =45^{\circ} +90^{\circ}+45^{\circ} =180^{\circ}\), azaz \(\displaystyle E, C, D\) egy egyenesre esnek, és ezen az egyenesen van \(\displaystyle F\) is. Emiatt \(\displaystyle EFC' \measuredangle =CFC' \measuredangle =90^{\circ}\), azaz az \(\displaystyle F\) pont rajta van a \(\displaystyle CC'\) szakasz, mint átmérő fölé rajzolt Thalesz-körön.

Mivel \(\displaystyle AC'BC\) téglalap, ezért \(\displaystyle CC'F\) köréírt köre egybeesik az \(\displaystyle ABC\) háromszög köréírt körével. Ezzel az állítást igazoltuk.

Diszkusszió: Abban az egy esetben nem ez a konfiguráció jön létre, ha az induló derékszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög egyenlőszárú. Ekkor \(\displaystyle ED\) felezőpontja \(\displaystyle C\), így az állítás nyilvánvalóan teljesül.

Statistics:

103 students sent a solution.
4 points:	73 students.
3 points:	18 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018