Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4994. (December 2018)

B. 4994. Prove that if the cubic equation \(\displaystyle x^3+Ax^2+Bx+C=0\) has three distinct positive roots for some values of the real parameters \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\), then \(\displaystyle A^2+B^2+18C>0\).

(German problem)

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az egyenlet három (különböző, valós) gyöke \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\). A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján:

\(\displaystyle A=-(\alpha+\beta+\gamma),\)

\(\displaystyle B=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\)

\(\displaystyle C=-\alpha\beta\gamma.\)

Az \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\) pozitív számok különbözők, így rájuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség szigorúan teljesül:

\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}>\sqrt[3]{\alpha\beta\gamma}. \)\(\displaystyle {(1)}\)

Írjuk fel az \(\displaystyle \alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha\) számokra is a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{3}\geq \sqrt[3]{(\alpha\beta\gamma)^2}. \)\(\displaystyle {(2)}\)

Bevezetve a \(\displaystyle t:=(\alpha\beta\gamma)^{1/3}>0\) jelölést az (1) és (2) egyenlőtlenségek alapján:

\(\displaystyle A^2>9t^2\)

és

\(\displaystyle B^2\geq 9t^4.\)

Így \(\displaystyle A^2+B^2+18C>9t^2+9t^4-18t^3=9t^2(t-1)^2\geq 0\), tehát a bizonyítandó egyenlőtlenség valóban teljesül.


Statistics:

69 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:10 students.
2 points:3 students.
1 point:1 student.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018