Problem B. 4994. (December 2018)
B. 4994. Prove that if the cubic equation \(\displaystyle x^3+Ax^2+Bx+C=0\) has three distinct positive roots for some values of the real parameters \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\), then \(\displaystyle A^2+B^2+18C>0\).
(German problem)
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen az egyenlet három (különböző, valós) gyöke \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\). A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján:
\(\displaystyle A=-(\alpha+\beta+\gamma),\)
\(\displaystyle B=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\)
\(\displaystyle C=-\alpha\beta\gamma.\)
Az \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\) pozitív számok különbözők, így rájuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség szigorúan teljesül:
\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}>\sqrt[3]{\alpha\beta\gamma}. \) | \(\displaystyle {(1)}\) |
Írjuk fel az \(\displaystyle \alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha\) számokra is a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{3}\geq \sqrt[3]{(\alpha\beta\gamma)^2}. \) | \(\displaystyle {(2)}\) |
Bevezetve a \(\displaystyle t:=(\alpha\beta\gamma)^{1/3}>0\) jelölést az (1) és (2) egyenlőtlenségek alapján:
\(\displaystyle A^2>9t^2\)
és
\(\displaystyle B^2\geq 9t^4.\)
Így \(\displaystyle A^2+B^2+18C>9t^2+9t^4-18t^3=9t^2(t-1)^2\geq 0\), tehát a bizonyítandó egyenlőtlenség valóban teljesül.
Statistics:
69 students sent a solution. 4 points: 52 students. 3 points: 10 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018