Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4996. feladat (2018. december)

B. 4996. Adott egy szakasz és az egyik harmadolópontja. Szerkesszük meg csak vonalzó segítségével a másik harmadolópontot.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle AB\) a megadott szakasz, és \(\displaystyle H\) az \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja; ezekből szeretnénk megszerkeszteni a \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontot, amely egyben a \(\displaystyle BH\) szakasz felezőpontja.

Vegyünk fel az \(\displaystyle AB\) egyenesen kívül egy \(\displaystyle C\) pontot, és a \(\displaystyle CH\) szakaszon egy \(\displaystyle D\) pontot. Szerkesszük meg az \(\displaystyle E=AD\cap BC\) és \(\displaystyle F=AC\cap BD\), majd a \(\displaystyle T=AB\cap EF\) pontot. Írjuk fel a Ceva- és a Menelaosz-tételt az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle D\) pontra, illetve az \(\displaystyle EFT\) egyenesre:

\(\displaystyle \frac{AH}{HB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1, \quad\text{illetve}\quad \frac{AT}{TB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = -1, \)

amiből

\(\displaystyle \frac{AT}{TB} = -\frac{AH}{HB} = -\frac12. \)

Az arány negatív, tehát a \(\displaystyle T\) pont az \(\displaystyle AB\) szakaszon kívülre esik, és \(\displaystyle TA=\frac12TB\), vagyis \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle TB\) szakasz felezőpontja.

Ezek után legyen \(\displaystyle I=BD\cap CT\). Az \(\displaystyle BCT\) háromszögre és az \(\displaystyle F\) pontra felírva a Ceva-tételt:

\(\displaystyle \frac{BE}{EC}\cdot\frac{CI}{IT}\cdot\frac{TA}{AB} = \frac{BE}{EC}\cdot\frac{CI}{IT} = 1, \)

vagyis \(\displaystyle \frac{CE}{EB}=\frac{CI}{IT}\); a párhuzamos szelők tételének megfordítása szerint \(\displaystyle EI\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel.

Most szerkesszük meg a \(\displaystyle J=AC\cap EI\), \(\displaystyle K=BI\cap EH\), végül a \(\displaystyle G=AB\cap JK\) pontokat. Mivel a \(\displaystyle TAGB\) és \(\displaystyle EJI\) egyenesek párhuzamosak, abból, hogy \(\displaystyle TB\) felezőpontja \(\displaystyle A\), az \(\displaystyle F\) ponton keresztül vetítve látjuk, hogy \(\displaystyle EI\) felezőpontja \(\displaystyle J\); a \(\displaystyle K\) ponton keresztül visszavetítve az \(\displaystyle AB\) egyenesre, láthatjuk, hogy \(\displaystyle HB\) felezőpontja \(\displaystyle G\), ami éppen az \(\displaystyle AB\) szakasz másik, \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja.

A fenti szerkesztési eljárás tehát valóban a másik harmadolópontot szerkeszti meg.


Statisztika:

A B. 4996. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai