Problem B. 4996. (December 2018)

B. 4996. Given a line segment and one point that divides it \(\displaystyle 1:2\), construct the other point dividing the line segment \(\displaystyle 1:2\) by only using a straight edge.

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle AB\) a megadott szakasz, és \(\displaystyle H\) az \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja; ezekből szeretnénk megszerkeszteni a \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontot, amely egyben a \(\displaystyle BH\) szakasz felezőpontja.

Vegyünk fel az \(\displaystyle AB\) egyenesen kívül egy \(\displaystyle C\) pontot, és a \(\displaystyle CH\) szakaszon egy \(\displaystyle D\) pontot. Szerkesszük meg az \(\displaystyle E=AD\cap BC\) és \(\displaystyle F=AC\cap BD\), majd a \(\displaystyle T=AB\cap EF\) pontot. Írjuk fel a Ceva- és a Menelaosz-tételt az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle D\) pontra, illetve az \(\displaystyle EFT\) egyenesre:

\(\displaystyle \frac{AH}{HB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1, \quad\text{illetve}\quad \frac{AT}{TB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = -1, \)

amiből

\(\displaystyle \frac{AT}{TB} = -\frac{AH}{HB} = -\frac12. \)

Az arány negatív, tehát a \(\displaystyle T\) pont az \(\displaystyle AB\) szakaszon kívülre esik, és \(\displaystyle TA=\frac12TB\), vagyis \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle TB\) szakasz felezőpontja.

Ezek után legyen \(\displaystyle I=BD\cap CT\). Az \(\displaystyle BCT\) háromszögre és az \(\displaystyle F\) pontra felírva a Ceva-tételt:

\(\displaystyle \frac{BE}{EC}\cdot\frac{CI}{IT}\cdot\frac{TA}{AB} = \frac{BE}{EC}\cdot\frac{CI}{IT} = 1, \)

vagyis \(\displaystyle \frac{CE}{EB}=\frac{CI}{IT}\); a párhuzamos szelők tételének megfordítása szerint \(\displaystyle EI\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel.

Most szerkesszük meg a \(\displaystyle J=AC\cap EI\), \(\displaystyle K=BI\cap EH\), végül a \(\displaystyle G=AB\cap JK\) pontokat. Mivel a \(\displaystyle TAGB\) és \(\displaystyle EJI\) egyenesek párhuzamosak, abból, hogy \(\displaystyle TB\) felezőpontja \(\displaystyle A\), az \(\displaystyle F\) ponton keresztül vetítve látjuk, hogy \(\displaystyle EI\) felezőpontja \(\displaystyle J\); a \(\displaystyle K\) ponton keresztül visszavetítve az \(\displaystyle AB\) egyenesre, láthatjuk, hogy \(\displaystyle HB\) felezőpontja \(\displaystyle G\), ami éppen az \(\displaystyle AB\) szakasz másik, \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja.

A fenti szerkesztési eljárás tehát valóban a másik harmadolópontot szerkeszti meg.

Statistics:

59 students sent a solution.
6 points:	Argay Zsolt, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Csaplár Viktor, Csiszár Zoltán, Dobák Dániel, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Hoffmann Balázs, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Markó Gábor, Nádor Benedek, Nagy Nándor, Péter Kristóf, Pooya Esmaeil Akhoondy, Rareș Polenciuc, Richlik Róbert, Seres-Szabó Márton, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Telek Zsigmond , Tóth 827 Balázs, Tóth Ábel, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
5 points:	Biczó Benedek.
4 points:	2 students.
3 points:	5 students.
2 points:	1 student.
0 point:	16 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018