Problem B. 4998. (January 2019)

B. 4998. A set of small plastic figures used as a visual aid in primary-school mathematics consists of \(\displaystyle 48\) pieces. The figures can be classified according to four different attributes: their size may be large or small, they may have or not have a hole in the middle, their colour may be red, yellow, blue or green, and their shape may be circular, square or triangular. Every possible combination of the four properties (e.g. small, blue circular disc with a hole) occurs exactly once. How many pieces \(\displaystyle x\) are there in the set, such that there exists a piece \(\displaystyle y\) for which the two conditions below both hold?

1. If \(\displaystyle x\) is red or has no hole, then \(\displaystyle y\) is a small yellow square.

2. If \(\displaystyle y\) is small or blue, then \(\displaystyle x\) is a green triangle or some figure without a hole.

Based on a calculus test problem for freshmen at ELTE, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle x\) nem sima és nem is piros, akkor az 1. állítás minden \(\displaystyle y\)-ra teljesül. Ha \(\displaystyle y\)-nak például egy nagy piros alakzatot választunk, akkor a 2. állítás is teljesül, vagyis az ilyen \(\displaystyle x\)-ekhez mindig tartozik megfelelő \(\displaystyle y\).

Ha \(\displaystyle x\) sima, akkor a 2. állítás biztosan teljesül. Ha \(\displaystyle y\)-nak egy kicsi sárga négyzetet választunk, akkor az 1. állítás is teljesül, vagyis ilyenkor is van megfelelő \(\displaystyle y\).

Azokat az \(\displaystyle x\)-eket kell még vizsgálnunk, amelyek pirosak, de nem simák. Ahhoz, hogy az 1. állítás teljesüljön, \(\displaystyle y\)-nak valamelyik kicsi sárga négyzetnek kell lennie. Mivel \(\displaystyle y\) kicsi, ezért a 2. állítás teljesüléséhez \(\displaystyle x\)-nek zöld háromszögnek vagy sima alakzatnak kellene lennie. Azonban \(\displaystyle x\) piros (így nem lehet zöld háromszög) és nem sima. Vagyis ezekhez az \(\displaystyle x\)-ekhez nem választható megfelelő \(\displaystyle y\). A piros, de nem sima (azaz piros és lyukas) alakzatok száma 6, hiszen egy ilyen alakzat mérete kétféle lehet (kicsi vagy nagy), alakja pedig háromféle (kör, négyzet, vagy háromszög).

Ezzel az összes lehetőséget megvizsgáltuk.

Tehát 6 olyan \(\displaystyle x\) alakzat van, amihez nem választható megfelelő \(\displaystyle y\), így \(\displaystyle 48-6=42\) olyan, amihez tartozik.

Statistics:

103 students sent a solution.
4 points:	74 students.
3 points:	6 students.
2 points:	9 students.
0 point:	14 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019