Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4999. feladat (2019. január)

B. 4999. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle O\), érintési pontjai \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\), hozzáírt köreinek érintési pontjai \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle B_2\), \(\displaystyle C_2\) az ábra szerint. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle OA_1 A_2\), \(\displaystyle OB_1 B_2\) és \(\displaystyle OC_1 C_2\) háromszögek közül valamelyiknek a területe egyenlő a másik két háromszög területének összegével.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Először is állapítsuk meg, hogy, ha a háromszög szabályos, akkor az \(\displaystyle OA_1 A_2\), \(\displaystyle OB_1 B_2\) és \(\displaystyle OC_1 C_2\) háromszögek elfajuló háromszögek 0 területtel és így triviális az állítás, míg, ha a háromszög egyenlő szárú (de nem szabályos), akkor az alapon keletkező háromszög elfajuló, míg a másik két háromszög a szimmetria miatt egybevágó, és így ekkor is teljesül a feladat állítása.
Legyen most már \(\displaystyle a>b>c\) , és használjuk az alábbi ábra jelöléseit!

A körhöz közös külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hossza miatt \(\displaystyle C_1A=AB_1 = x\), \(\displaystyle C_1B=BA_1 = y\), \(\displaystyle B_1C=CA_1=z\). Innen \(\displaystyle 2(x+y+z) = a+b+c=2s\), és \(\displaystyle BA_1 = y=s-(x+z)=s-b=\dfrac{a-b+c}{2}\).

Ugyanígy a körhöz közös külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hossza miatt: \(\displaystyle QB=BA_2=q\) és \(\displaystyle A_2C=CP=p\), valamint \(\displaystyle AQ=AP=q+c=p+b=s\), és innen \(\displaystyle BA_2= q=s-c=\dfrac{a+b-c}{2}\).

Azaz \(\displaystyle A_1A_2=|BA_2 - BA_1|=\left|\dfrac{a-b+c}{2}-\dfrac{a+b-c}{2}\right|=|c-b| = b-c\) (\(\displaystyle b>c\) miatt).

Hasonlóan megmutatható, hogy \(\displaystyle B_1B_2=a-c\) és \(\displaystyle C_1C_2=a-b\).

Mivel a kérdéses \(\displaystyle OA_1 A_2\), \(\displaystyle OB_1 B_2\) és \(\displaystyle OC_1 C_2\) háromszögek derékszögűek, és az \(\displaystyle A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2\) befogókhoz tartozó magasság minden esetben a beírható kör \(\displaystyle r\) sugara, adódik, hogy a nagyság szerint középső oldalon lévő \(\displaystyle OB_1B_2\) háromszögre:
\(\displaystyle 2T_{OB_1B_2} = (a-c)r=(a-b+b-c)r=(a-b)r + (b-c)r = 2T_{OC_1C_2} + 2T_{OA_1A_2}\).

Ezt kettővel osztva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.


Statisztika:

A B. 4999. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári matematika feladatai