Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5001. feladat (2019. január)

B. 5001. Egy egyenlő szárú háromszög alapja \(\displaystyle a\), szárszöge \(\displaystyle 120^{\circ}\)-nál kisebb, az alaphoz tartozó magassága \(\displaystyle m\). A háromszög mindegyik csúcsát tükrözzük a szemközti oldalegyenesre. A három kapott pont egy másik egyenlő szárú háromszöget alkot, amelynek alapja \(\displaystyle a'\), alaphoz tartozó magassága pedig \(\displaystyle m'\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \frac{a'}{a}+\frac{m'}{m}=4. \)

Javasolta: Bártfai Pál (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a háromszög alapja \(\displaystyle BC\), szárainak metszéspontja \(\displaystyle A\), a tükörképpontok pedig \(\displaystyle A', B', C'\).

Az általánosság megszorítása nélkül vehetjük a szárakat egységnyinek. Az összes adat kifejezhető a szár és a szárak közötti \(\displaystyle \alpha\) szög segítségével. A kényelmesebb írás érdekében legyen továbbá \(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=\varphi\):

\(\displaystyle a=BC=2\sin\varphi,\)

\(\displaystyle m=\cos\varphi,\)

\(\displaystyle a'=2\sin 3\varphi,\)

\(\displaystyle m'=2\cos\varphi-\cos 3\varphi.\)

A háromszoros szögekre vonatkozó addíciós tételek és a négyzetes összefüggés segítségével írjuk fel a megfelelő szakaszok arányát:

\(\displaystyle \frac{a'}{a}+\frac{m'}{m}=\frac{2\sin\varphi(3-4\sin^2 \varphi)}{2\sin\varphi}+ \frac {2\cos\varphi - \cos\varphi(4\cos^2\varphi-3)}{\cos\varphi}=\)

\(\displaystyle =3-4\sin^2\varphi+2-4\cos^2\varphi+3=8-4(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)=4. \)

Amennyiben \(\displaystyle 3\alpha\) nagyobb, mint \(\displaystyle 180^{\circ}\), a félszöge még mindig kisebb \(\displaystyle 180^{\circ}\)-nál, így a szinuszok számolásánál ez nem okoz problémát. A félszög koszinusza viszont negatív lesz, ami éppen meg is felel, mert \(\displaystyle m'\) nagyobb ebben az esetben \(\displaystyle m\) kétszeresénél. Az algebrai felírás ekkor is pontos.


Statisztika:

A B. 5001. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári matematika feladatai