Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 5001. (January 2019)

B. 5001. The base of an isosceles triangle is \(\displaystyle a\), its apex angle is smaller than \(\displaystyle 120^{\circ}\), and the altitude drawn to the base is \(\displaystyle m\). Each vertex of the triangle is reflected in the line of the opposite side. The three reflections form a new isosceles triangle, with a base \(\displaystyle a'\) and an altitude \(\displaystyle m'\) drawn to the base. Show that

\(\displaystyle \frac{a'}{a}+\frac{m'}{m}=4.\)

Proposed by P. Bártfai, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a háromszög alapja \(\displaystyle BC\), szárainak metszéspontja \(\displaystyle A\), a tükörképpontok pedig \(\displaystyle A', B', C'\).

Az általánosság megszorítása nélkül vehetjük a szárakat egységnyinek. Az összes adat kifejezhető a szár és a szárak közötti \(\displaystyle \alpha\) szög segítségével. A kényelmesebb írás érdekében legyen továbbá \(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=\varphi\):

\(\displaystyle a=BC=2\sin\varphi,\)

\(\displaystyle m=\cos\varphi,\)

\(\displaystyle a'=2\sin 3\varphi,\)

\(\displaystyle m'=2\cos\varphi-\cos 3\varphi.\)

A háromszoros szögekre vonatkozó addíciós tételek és a négyzetes összefüggés segítségével írjuk fel a megfelelő szakaszok arányát:

\(\displaystyle \frac{a'}{a}+\frac{m'}{m}=\frac{2\sin\varphi(3-4\sin^2 \varphi)}{2\sin\varphi}+ \frac {2\cos\varphi - \cos\varphi(4\cos^2\varphi-3)}{\cos\varphi}=\)

\(\displaystyle =3-4\sin^2\varphi+2-4\cos^2\varphi+3=8-4(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)=4. \)

Amennyiben \(\displaystyle 3\alpha\) nagyobb, mint \(\displaystyle 180^{\circ}\), a félszöge még mindig kisebb \(\displaystyle 180^{\circ}\)-nál, így a szinuszok számolásánál ez nem okoz problémát. A félszög koszinusza viszont negatív lesz, ami éppen meg is felel, mert \(\displaystyle m'\) nagyobb ebben az esetben \(\displaystyle m\) kétszeresénél. Az algebrai felírás ekkor is pontos.


Statistics:

59 students sent a solution.
3 points:Apagyi Dávid, Argay Zsolt, Bánó Bulcsú, Baski Bence, Bencsik Ádám, Bokor Endre, Bukva Dávid, Bursics András, Csaplár Viktor, Dobák Dániel, Fekete Richárd, Fraknói Ádám, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Johanna, Hámori Janka, Hamvas Johanna Kata, Hegedűs Dániel, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Kiss 014 Dávid, Kitschner Bernadett, Laki Anna, Lipthay Hanna, Lovas Márton, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Nguyen Bich Diep, Rareș Polenciuc, Sándor Péter, Sebestyén Pál Botond, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra.
2 points:12 students.
1 point:4 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019