Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5002. feladat (2019. január)

B. 5002. Az \(\displaystyle x^3 +a x^2 + bx + c\) harmadfokú polinom grafikonja a különböző \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle P_3\), \(\displaystyle P_4\), \(\displaystyle P_5\), \(\displaystyle P_6\) pontokban metszi az origó középpontú, \(\displaystyle 10\) egység sugarú kört. Fejezzük ki a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle P_3\), \(\displaystyle P_4\), \(\displaystyle P_5\), \(\displaystyle P_6\) pontrendszer súlypontjának koordinátáit az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) együtthatókkal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek a metszéspontok koordinátái \(\displaystyle P_i(x_i,y_i)\) (ahol \(\displaystyle 1\leq i\leq 6\)). Bármely metszéspontra teljesülnek az

\(\displaystyle y=x^3+ax^2+bx+c\)

és

\(\displaystyle x^2+y^2=100\)

egyenletek. Így az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_6\) számok mind megoldásai a

\(\displaystyle 100-x^2=(x^3+ax^2+bx+c)^2\)

egyenletnek. A négyzetre emelést elvégezve, és rendezve az egyenletet:

\(\displaystyle 0=x^6+2ax^5+(a^2+2b)x^4+(2c+2ab)x^3+(2ac+b^2+1)x^2+2bcx+(c^2-100).\)

Az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_6\) számok mind különbözők, hiszen a \(\displaystyle P_i\) pontok mind különbözők, és \(\displaystyle y_i\)-t egyértelműen meghatározza \(\displaystyle x_i\). Egy hatodfokú polinomnak legfeljebb hat különböző valós gyöke lehet, így a kapott polinomnak hat különböző gyöke kell legyen, melyek éppen az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_6\) számok. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján az első három elemi szimmetrikus polinomjuk:

\(\displaystyle s_1:=x_1+x_2+\dots+x_6=-2a, \)\(\displaystyle {(1)}\)
\(\displaystyle s_2:=x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_5x_6=a^2+2b, \)\(\displaystyle {(2)}\)
\(\displaystyle s_3:=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+\dots+x_4x_5x_6=-(2c+2ab). \)\(\displaystyle {(3)}\)

(1) alapján a súlypont első koordinátája \(\displaystyle \frac{x_1+x_2+\dots+x_6}{6}=-\frac{a}{3}\). Jelölje \(\displaystyle h_i=x_1^i+x_2^i+\dots+x_6^i\) az \(\displaystyle i\)-edik hatványösszegét az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_6\) számoknak. Ismert (és könnyen ellenőrizhető), hogy \(\displaystyle h_2=s_1^2-2s_2\), illetve \(\displaystyle h_3=s_1h_2-s_2s_1+3s_3\). Tehát:

\(\displaystyle h_1=s_1=-2a,\)

\(\displaystyle h_2=s_1^2-2s_2=4a^2-2(a^2+2b)=2a^2-4b,\)

\(\displaystyle h_3=(-2a)(2a^2-4b)-(-2a)(a^2+2b)-6(c+ab)=-2a^3+6ab-6c.\)

Mivel minden \(\displaystyle 1\leq i\leq 6\) esetén \(\displaystyle y_i=x_i^3+ax_i^2+bx_i+c\), ezért

\(\displaystyle y_1+y_2+\dots+y_6=h_3+ah_2+bh_1+6c=(-2a^3+6ab-6c)+a(2a^2-4b)+b(-2a)+6c=0.\)

Tehát a súlypont koordinátái: \(\displaystyle \left(-\frac{a}{3},0\right)\).

Megjegyzések. 1. Ha egy \(\displaystyle (x,y)\) pont rajta van a megadott grafikonon és körön is, akkor

\(\displaystyle y-ax^2-c=x^3+bx=x(x^2+b),\)

és így

\(\displaystyle y-a(100-y^2)=x(100-y^2+b),\)

amiből

\(\displaystyle (y-a(100-y^2))^2=x^2(100-y^2+b)^2.\)

Tehát az \(\displaystyle y_i\) pontok mindegyike megoldása a \(\displaystyle (100-y^2)(100-y^2+b)^2-(y-a(100-y^2))^2=0\) hatodfokú egyenletnek. Mivel ez a polinom páros, speciálisan \(\displaystyle y^5\) együtthatója is 0, vagyis az egyenlet hat (esetleg komplex) gyökének (multiplicitással számolt) összege 0. Azonban az, hogy ez a hat gyök \(\displaystyle y_1,y_2,\dots,y_6\) még további indoklást igényelne, hiszen a \(\displaystyle x_i\)-k esetében használt érvelés nem működik, mivel az \(\displaystyle y_i\)-k nem feltétlenül páronként különbözők.
2. Könnyen ellenőrizhető, hogy például az \(\displaystyle y=x^3-10x\) polinom hat pontban metszi az \(\displaystyle x^2+y^2=100\) kört, tehát a feladatban leírt eset valóban előfordulhat.


Statisztika:

A B. 5002. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári matematika feladatai