Problem B. 5003. (January 2019)

B. 5003. Is it true that if five out of the midpoints of the six edges of a tetrahedron lie on the same sphere, then the sixth midpoint also lies on that sphere?

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy példával megmutatjuk, hogy az állítás nem igaz. Ehhez legyen egy kocka két kitérő éle \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EH\) az ábra szerint, és tekintsük az általuk feszített tetraédert. Használjuk az ábra jelöléseit, az élfelező pontok \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\), \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\). Könnyen látható, hogy a \(\displaystyle JKLM\) négyszög egy négyzet, hiszen \(\displaystyle K\) élközéppont, \(\displaystyle J\) és \(\displaystyle L\) lapközéppontok, \(\displaystyle M\) pedig a kocka középpontja, így \(\displaystyle JKLM\)-t megkaphatjuk, ha az \(\displaystyle ABCD\) lapot \(\displaystyle E\)-ből \(\displaystyle 1/2\) arányban kicsinyítjük. Mivel ez a hasonlóság \(\displaystyle H\)-t éppen \(\displaystyle I\)-be viszi, így a \(\displaystyle J\), \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle I\) pontok illeszkednek egy gömbre, éppen az \(\displaystyle ABCDEFGH\) kocka körülírt gömbjének kicsinyített képére. Végül: az \(\displaystyle N\) pont nem illeszkedik erre a gömbre, hiszen az \(\displaystyle I,J,N,L\) pontok egy olyan paralelogramma csúcsai, amely nem téglalap, tehát \(\displaystyle IJLN\) nem húrnégyszög, így a csúcsai nem illeszkednek egy gömbre sem.

Megjegyzés. Ismert, hogy ha egy tetraéder élei közül elhagyunk egy kitérő élpárt, akkor a maradék négy él felezőpontjai egy olyan paralelogramma csúcsai, amelynek oldalai párhuzamosak a tetraéder elhagyott két élének valamelyikével. Ha a tetraéder valamely öt élfelezőpontja illeszkedik egy gömbre, akkor az öt élfelező pont között lesz négy, amely egy ilyen paralelogramma négy csúcsa. Egy gömbbe (körbe) írt paralelogramma szükségképpen téglalap, vagyis a paralelogramma szomszédos élei, és így a tetraéder megfelelő kitérő élei merőlegesek egymásra. Kaptuk, hogy ha valamely öt élfelezőpont illeszkedik egy gömbre, akkor a tetraédernek van egy merőleges kitérő élpárja.

Másrészről nem túl nehéz megmutatni (például vektorok segítségével), hogy ha egy tetraéderben van kettő kitérő élpár, amelyben az élek egymásra merőlegesek, akkor már a harmadik kitérő élpár is ilyen, így a tetraéder magasságpontos (= létezik magasságpontja), a hat élfelezőpont pedig a tetraéder második Feuerbach-gömbjére illeszkedik.

Olyan tetraédert kellett tehát konstruálnunk a megoldásban, amelynek pontosan egy merőleges kitérő élpárja van. (Ilyen példa természetesen végtelen sok van.)

Statistics:

49 students sent a solution.
5 points:	Beke Csongor, Csaplár Viktor, Danyi Kristóf, Dobák Dániel, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Lengyel Ádám, Nagy Nándor, Rareș Polenciuc, Sándor Péter, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
4 points:	Velich Nóra.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
0 point:	13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019