A B. 5004. feladat (2019. január)

B. 5004. \(\displaystyle 2n\) egymást követő egész szám között legfeljebb hány olyan lehet, amely osztható az \(\displaystyle n+1\), \(\displaystyle n+2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 2n\) számok közül legalább az egyikkel?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt fogjuk bebizonyítani, hogy a válasz \(\displaystyle [3n/2]\).

Először is megjegyezzük, hogy az \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) számok mindegyikének legfeljebb két többszöröse van \(\displaystyle 2n\) egymást követő szám között, hiszen \(\displaystyle 2(n+1)>2n-1\). Továbbá amennyiben kettő van, akkor ezek közül az egyik biztosan páros, hiszen a páros számok összes többszöröse páros, a páratlan számok többszörösei pedig felváltva párosak és páratlanok.

Az \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) számok között \(\displaystyle [n/2]\) páratlan szám van, a \(\displaystyle 2n\) szomszédos egész szám közé eső páratlan számoknak csak ezek közül lehet osztója, és az előzőek szerint mindnek legfeljebb 1. Mivel \(\displaystyle 2n\) szomszédos egész szám között a páratlanok száma \(\displaystyle n\), így arra jutottunk, hogy ezen \(\displaystyle n\) páratlan szám közül legfeljebb \(\displaystyle [n/2]\)-nek lehet osztója az \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) számok között. A párosak száma szintén \(\displaystyle n\), így összességében a \(\displaystyle 2n\) szomszédos szám közül legfeljebb \(\displaystyle n+[n/2]=[3n/2]\)-nek lehet osztója az \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) számok között.

Most megmutatjuk, hogy ennyinek lehet is. A korábbiak alapján ehhez az kell, hogy mind az \(\displaystyle [n/2]\) páratlan \(\displaystyle [n+1,2n]\)-beli számnak legyen páratlan többszöröse a \(\displaystyle 2n\) szomszédos szám között, ezek legyenek páronként különbözők, továbbá a \(\displaystyle 2n\) szomszédos számunk közé eső párosak mindegyikének is legyen osztója \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) között. Ez mind teljesül, ha a \(\displaystyle 2n\) szomszédos szám \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,3n\). A páratlanokra vonatkozó feltétel teljesül: minden \(\displaystyle n+1\) és \(\displaystyle 2n\) közötti számnak – speciálisan a páratlanoknak is – van megfelelő osztója (saját maguk). Így a páratlanokra vonatkozó feltétel teljesül, és a párosak közül is elég ellenőrizni, hogy a \(\displaystyle [2n+1,3n]\)-be esőknek van \(\displaystyle [n+1,2n]\)-beli osztójuk. Mivel egy \(\displaystyle [2n+1,3n]\)-be eső páros szám fele \(\displaystyle [n+1/2,3n/2]\)-be eső egész szám, így ez is teljesül.

Tehát a feladat kérdésére \(\displaystyle [3n/2]\) a válasz.

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baski Bence, Beke Csongor, Bokor Endre, Csaplár Viktor, Dobák Dániel, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Kovács 129 Tamás, Kun Ágoston , Mátravölgyi Bence, Nagy Nándor, Nyárfádi Patrik, Rareș Polenciuc, Soós 314 Máté, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tóth Ábel, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai