Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 5004. (January 2019)

B. 5004. In a set of \(\displaystyle 2n\) consecutive integers, what is the maximum possible number of elements that are divisible by at least one of the numbers \(\displaystyle n+1\), \(\displaystyle n+2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 2n\)?

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(6 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Azt fogjuk bebizonyítani, hogy a válasz \(\displaystyle [3n/2]\).

Először is megjegyezzük, hogy az \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) számok mindegyikének legfeljebb két többszöröse van \(\displaystyle 2n\) egymást követő szám között, hiszen \(\displaystyle 2(n+1)>2n-1\). Továbbá amennyiben kettő van, akkor ezek közül az egyik biztosan páros, hiszen a páros számok összes többszöröse páros, a páratlan számok többszörösei pedig felváltva párosak és páratlanok.

Az \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) számok között \(\displaystyle [n/2]\) páratlan szám van, a \(\displaystyle 2n\) szomszédos egész szám közé eső páratlan számoknak csak ezek közül lehet osztója, és az előzőek szerint mindnek legfeljebb 1. Mivel \(\displaystyle 2n\) szomszédos egész szám között a páratlanok száma \(\displaystyle n\), így arra jutottunk, hogy ezen \(\displaystyle n\) páratlan szám közül legfeljebb \(\displaystyle [n/2]\)-nek lehet osztója az \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) számok között. A párosak száma szintén \(\displaystyle n\), így összességében a \(\displaystyle 2n\) szomszédos szám közül legfeljebb \(\displaystyle n+[n/2]=[3n/2]\)-nek lehet osztója az \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) számok között.

Most megmutatjuk, hogy ennyinek lehet is. A korábbiak alapján ehhez az kell, hogy mind az \(\displaystyle [n/2]\) páratlan \(\displaystyle [n+1,2n]\)-beli számnak legyen páratlan többszöröse a \(\displaystyle 2n\) szomszédos szám között, ezek legyenek páronként különbözők, továbbá a \(\displaystyle 2n\) szomszédos számunk közé eső párosak mindegyikének is legyen osztója \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n\) között. Ez mind teljesül, ha a \(\displaystyle 2n\) szomszédos szám \(\displaystyle n+1,n+2,\dots,3n\). A páratlanokra vonatkozó feltétel teljesül: minden \(\displaystyle n+1\) és \(\displaystyle 2n\) közötti számnak – speciálisan a páratlanoknak is – van megfelelő osztója (saját maguk). Így a páratlanokra vonatkozó feltétel teljesül, és a párosak közül is elég ellenőrizni, hogy a \(\displaystyle [2n+1,3n]\)-be esőknek van \(\displaystyle [n+1,2n]\)-beli osztójuk. Mivel egy \(\displaystyle [2n+1,3n]\)-be eső páros szám fele \(\displaystyle [n+1/2,3n/2]\)-be eső egész szám, így ez is teljesül.

Tehát a feladat kérdésére \(\displaystyle [3n/2]\) a válasz.


Statistics:

47 students sent a solution.
6 points:Baski Bence, Beke Csongor, Bokor Endre, Csaplár Viktor, Dobák Dániel, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Kovács 129 Tamás, Kun Ágoston , Mátravölgyi Bence, Nagy Nándor, Nyárfádi Patrik, Rareș Polenciuc, Soós 314 Máté, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tóth Ábel, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 points:8 students.
2 points:5 students.
1 point:3 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019