Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5008. feladat (2019. február)

B. 5008. Adottak az \(\displaystyle A\) középpontú \(\displaystyle k_A\) és a \(\displaystyle B\) középpontú \(\displaystyle k_B\) körök. Az \(\displaystyle l_1\) egyenes \(\displaystyle A_1\)-ben érinti \(\displaystyle k_A\)-t és \(\displaystyle B_1\)-ben \(\displaystyle k_B\)-t; az \(\displaystyle l_2\) egyenes pedig \(\displaystyle A_2\)-ben érinti \(\displaystyle k_A\)-t és \(\displaystyle B_2\)-ben \(\displaystyle k_B\)-t. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A_1A_2\) és a \(\displaystyle B_1B_2\) szakaszok \(\displaystyle AB\) egyenesre vett merőleges vetülete egyenlő hosszúságú.

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Amennyiben két külső vagy két belső érintőt húztunk be, a megfelelő pontok vetületei egybeesnek, nincs mit bizonyítanunk. A feladat valódi állítása arra az esetre vonatkozik, ha mindkét körhöz húzható külső és belső érintő is és az egyik egyenes külső, a másik belső érintő. Legyen \(\displaystyle l_1\) a közös külső, \(\displaystyle l_2\) pedig a közös belső érintő.

Legyenek az \(\displaystyle A_1, A_2, B_2, B_1\) pontok merőleges vetületének talppontjai az \(\displaystyle AB\) egyenesen rendre a \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok. Legyen \(\displaystyle k_A\) sugara \(\displaystyle R\), \(\displaystyle k_B\) sugara \(\displaystyle r\), a középpontok távolsága \(\displaystyle AB=d\), \(\displaystyle BAA_1 \measuredangle=\alpha\), \(\displaystyle A_2AB\measuredangle=\beta\). Az ismert szerkesztési eljárás alapján a \(\displaystyle B\) pontból az \(\displaystyle AA_1\) szakaszra merőlegest állítva látható, hogy

\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{R-r}{d}.\)

Ismét a szerkesztési eljárás alapján \(\displaystyle B\)-ből az \(\displaystyle AA_2\) egyenesére merőlegest állítva adódik, hogy

\(\displaystyle \cos\beta=\frac{R+r}{d}.\)

A külső és belső érintő elhelyezkedése alapján az \(\displaystyle A_1\) pont és az \(\displaystyle A_2\) pont vetülete is az \(\displaystyle AB\) szakaszra esik, mégpedig úgy, hogy a \(\displaystyle D\) pont van távolabb az \(\displaystyle A\)-tól, mint \(\displaystyle C\). Fel tudjuk írni az eddigiek alapján a \(\displaystyle CD\) vetületszakasz hosszát:

\(\displaystyle CD=R\cos\beta-R\cos\alpha=R\cdot\frac{R+r}{d}-R\cdot\frac{R-r}{d}=\frac{2Rr}{d}.\)

Feltettük, hogy \(\displaystyle R>r\), ezért a \(\displaystyle B_1\) pont \(\displaystyle F\) vetülete az \(\displaystyle AB\) szakasz \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbítására esik. A szögfüggvények értékeinek felhasználásával felírható az \(\displaystyle EF\) szakasz hossza:

\(\displaystyle EF=r\cos\alpha+r\cos\beta=r\cdot\frac{R-r}{d}+r\cdot\frac{R+r}{d}=\frac{2Rr}{d}.\)

Amennyiben a körök kívülről érintik egymást, akkor a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontok egymással és a két kör közös pontjával is egybeesnek. A \(\displaystyle \beta\) szög \(\displaystyle 0^\circ\)-os, így \(\displaystyle \cos\beta=1\), \(\displaystyle R\cos\beta=R, r\cos\beta=r\), ebben az esetben is ugyanezzel számolással kapjuk a vetületek hosszát. Ezzel az állítást igazoltuk.


Statisztika:

A B. 5008. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári matematika feladatai