Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5009. feladat (2019. február)

B. 5009. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív számokra \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=3\) teljesül. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle 2^{\tfrac1x} + 2^{\tfrac1y} + 2^{\tfrac1z} \ge 6\).

Javasolta: Nguyen Van Nho (Vietnam)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A \(\displaystyle 2^{\frac{1}{x}},2^{\frac{1}{y}},2^{\frac{1}{z}}\) pozitív számokra alkalmazva a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{2^{\frac1x} + 2^{\frac1y} + 2^{\frac1z}}{3} \ge 2^{\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{3}}.\)

Az így kapott egyenlőtlenség jobb oldalán a kitevő éppen az \(\displaystyle x,y,z\) számok harmonikus közepének reciproka. A harmonikus és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség alapján:

\(\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\leq \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}=1.\)

Tehát \(\displaystyle 3\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), amit a fenti egyenlőtlenséggel egybevetve éppen a bizonyítandó állítást kapjuk:

\(\displaystyle \frac{2^{\frac1x} + 2^{\frac1y} + 2^{\frac1z}}{3} \ge 2^{\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{3}}\geq 2,\)

amiből \(\displaystyle 2^{\frac1x} + 2^{\frac1y} + 2^{\frac1z}\geq 6\).

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha mind a számtani és mértani közepek közötti, mind a harmonikus és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, vagyis, ha \(\displaystyle 2^{\frac1x}=2^{\frac1y}=2^{\frac1z}\) és \(\displaystyle x=y=z\). Mivel \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=3\), ezért egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y=z=1\).


Statisztika:

A B. 5009. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári matematika feladatai