A B. 5009. feladat (2019. február)

B. 5009. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív számokra \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=3\) teljesül. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle 2^{\tfrac1x} + 2^{\tfrac1y} + 2^{\tfrac1z} \ge 6\).

Javasolta: Nguyen Van Nho (Vietnam)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle 2^{\frac{1}{x}},2^{\frac{1}{y}},2^{\frac{1}{z}}\) pozitív számokra alkalmazva a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{2^{\frac1x} + 2^{\frac1y} + 2^{\frac1z}}{3} \ge 2^{\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{3}}.\)

Az így kapott egyenlőtlenség jobb oldalán a kitevő éppen az \(\displaystyle x,y,z\) számok harmonikus közepének reciproka. A harmonikus és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség alapján:

\(\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\leq \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}=1.\)

Tehát \(\displaystyle 3\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), amit a fenti egyenlőtlenséggel egybevetve éppen a bizonyítandó állítást kapjuk:

\(\displaystyle \frac{2^{\frac1x} + 2^{\frac1y} + 2^{\frac1z}}{3} \ge 2^{\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{3}}\geq 2,\)

amiből \(\displaystyle 2^{\frac1x} + 2^{\frac1y} + 2^{\frac1z}\geq 6\).

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha mind a számtani és mértani közepek közötti, mind a harmonikus és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, vagyis, ha \(\displaystyle 2^{\frac1x}=2^{\frac1y}=2^{\frac1z}\) és \(\displaystyle x=y=z\). Mivel \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=3\), ezért egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y=z=1\).

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Apagyi Dávid, Argay Zsolt, Asztalos Ádám, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Beke Csongor, Biczó Benedek, Bokor Endre, Bukva Dávid, Bulman Vencel, Csertán András, Farkas Boróka, Fekete Richárd, Fraknói Ádám, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Gárgyán Barnabás, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Kocsis Anett, Kovács 129 Tamás, Laki Anna, Lovas Márton, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Péter Kristóf, Rareș Polenciuc, Reimann Kristóf, Richlik Róbert, Sándor Péter, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Stomfai Gergely, Szabó 991 Kornél, Szűcs 064 Tamás, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tiszay Ádám, Tóth 827 Balázs, Tóth Ábel, Várkonyi Zsombor, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2019. februári matematika feladatai