Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5011. feladat (2019. február)

B. 5011. Adott a síkon 6 általános helyzetű pont úgy, hogy bármely két pont távolsága különböző. Mutassuk meg, hogy megadható két olyan háromszög, amelyeknek minden csúcsa ezen pontok közül való, és a két háromszögnek van egy közös oldala, amely az egyik háromszögben a legrövidebb, a másikban a leghosszabb oldal.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük a pontok által meghatározott szakaszokat. Színezzük azokat a szakaszokat pirosra, amelyek valamely, a pontok által meghatározott háromszögben leghosszabb oldalak. A többi szakaszt színezzük kékre.

Ismert, hogy ha egy hat csúcsú teljes gráf éleit kettő színnel színezzük, akkor lesz olyan háromszög, amelynek minden oldala azonos színű, lásd például itt.

A létrejövő egyszínű háromszög azonban nem lehet kék, mert a leghosszabb oldalát pirosra színeztük. Így biztosan van egy háromszög, aminek mindhárom oldala piros. Ezen három piros oldal közül tekintsük a legrövidebbet. Ez a csupa piros háromszögben legrövidebb oldal, és valamely háromszögben leghosszabb oldal (mivel pirosra színeztük). Ezzel az állítást beláttuk.


Statisztika:

A B. 5011. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári matematika feladatai