Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5011. feladat (2019. február)

B. 5011. Adott a síkon 6 általános helyzetű pont úgy, hogy bármely két pont távolsága különböző. Mutassuk meg, hogy megadható két olyan háromszög, amelyeknek minden csúcsa ezen pontok közül való, és a két háromszögnek van egy közös oldala, amely az egyik háromszögben a legrövidebb, a másikban a leghosszabb oldal.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük a pontok által meghatározott szakaszokat. Színezzük azokat a szakaszokat pirosra, amelyek valamely, a pontok által meghatározott háromszögben leghosszabb oldalak. A többi szakaszt színezzük kékre.

Ismert, hogy ha egy hat csúcsú teljes gráf éleit kettő színnel színezzük, akkor lesz olyan háromszög, amelynek minden oldala azonos színű, lásd például itt.

A létrejövő egyszínű háromszög azonban nem lehet kék, mert a leghosszabb oldalát pirosra színeztük. Így biztosan van egy háromszög, aminek mindhárom oldala piros. Ezen három piros oldal közül tekintsük a legrövidebbet. Ez a csupa piros háromszögben legrövidebb oldal, és valamely háromszögben leghosszabb oldal (mivel pirosra színeztük). Ezzel az állítást beláttuk.


Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Baski Bence, Beke Csongor, Biczó Benedek, Bursics András, Csaplár Viktor, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Nagy 551 Levente, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Stomfai Gergely, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
4 pontot kapott:Velich Nóra.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2019. februári matematika feladatai