Problem B. 5013. (February 2019)

B. 5013. The excircle of triangle \(\displaystyle ABC\) opposite to vertex \(\displaystyle A\) touches line \(\displaystyle AC\) at point \(\displaystyle B_1\). The line segment \(\displaystyle BB_1\) intersects the excircle at \(\displaystyle B_2\), and the tangent drawn to the excircle at \(\displaystyle B_2\) intersects side \(\displaystyle BC\) at \(\displaystyle B_3\). Similarly, the inscribed circle of the triangle touches side \(\displaystyle AB\) at point \(\displaystyle C_1\), line segment \(\displaystyle CC_1\) intersects the incircle at \(\displaystyle C_2\), and the tangent drawn to the incircle at \(\displaystyle C_2\) intersects side \(\displaystyle BC\) at \(\displaystyle C_3\). Prove that \(\displaystyle B_2B_3=C_2C_3\).

(6 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle CA=b\) és \(\displaystyle AB=c\), legyen a félkerület \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}\), és jelölje \(\displaystyle A_1\), illetve \(\displaystyle A_2\) a beírt kör, illetve az \(\displaystyle A\)-val szemközti hozzárt kör érintési pontját a \(\displaystyle BC\) oldalon. Jól ismert, hogy a csúcsokból a beírt és hozzáírt körökhöz húzott érintő szakaszok hosszai \(\displaystyle BA_1=BC_1=CB_1=CA_2=s-b\).

Most kiszámítjuk \(\displaystyle C_2C_3\) hosszát. A \(\displaystyle C_3\) pontból a beírt körhöz húzott érintő szakaszok egyenlők; legyen \(\displaystyle C_2C_3=C_3A_1=x\). A \(\displaystyle C_3\) pont a \(\displaystyle CA_1\) szakasz belsejében helyezkedik el, ezért \(\displaystyle CC_3=CA_1-C_3A_1=(s-c)-x\). Legyen \(\displaystyle \gamma=BCC_1\measuredangle\) és \(\displaystyle \delta=CC_1B\measuredangle\). A beírt körhöz \(\displaystyle C_1\)-ben és \(\displaystyle C_2\)-ben húzott érintők ugyanakkora szöget zárnak be a \(\displaystyle C_1C_2\) húrral, ezért \(\displaystyle C_3C_2C_1\measuredangle=\delta\).

Írjuk fel a szinusztételt a \(\displaystyle CC_1B\) és \(\displaystyle CC_3C_1\) háromszögekre:

\(\displaystyle \frac{x}{s-c-x} = \frac{C_2C_3}{CC_3} = \frac{\sin\gamma}{\sin (180^\circ-\delta)} = \frac{\sin\gamma}{\sin\delta} = \frac{BC_1}{BC} = \frac{s-b}{a}; \)

rendezve

\(\displaystyle C_2C_3 = x = \frac{(s-b)(s-c)}{s+a-b}. \)

Hasonlóan számíthatjuk ki a \(\displaystyle B_2B_3\) szakasz hosszát: legyen \(\displaystyle B_2B_3=B_3A_2=y\), ekkor \(\displaystyle BB_3=BA_2-B_3A_2=(s-c)-y\). Legyen \(\displaystyle \beta=CBB_1\measuredangle\) és \(\displaystyle \varepsilon=BB_1A\measuredangle=B_3B_2B_1\measuredangle\). A szinusztételt a \(\displaystyle BB_2B_3\) és \(\displaystyle BB_1C\) háromszögekre felírva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{y}{s-c-y} = \frac{B_2B_3}{BB_3} = \frac{\sin\beta}{\sin\varepsilon} = \frac{CB_1}{BC} = \frac{s-b}{a}, \)

\(\displaystyle B_2B_3 = y = \frac{(s-b)(s-c)}{s+a-b}. \)

Ezzel megmutattuk, hogy \(\displaystyle B_2B_3 = C_2C_3 = \dfrac{(s-b)(s-c)}{s+a-b}\).

Megjegyzés. A \(\displaystyle (C,A_1,B,C_3)\) és \(\displaystyle (B,A_2,C,B_3)\) pontnégyesek harmonikusak, ez a körökre vonatkozó polaritások segítségével is igazolható. A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), illetve az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) pontok egymás tükörképei a \(\displaystyle BC\) szakasz felező merőlegesére; ebből következik, a pontnégyesek negyedik pontja, vagyis \(\displaystyle C_3\) és \(\displaystyle B_3\) is egymás tükörképe.

Statistics:

12 students sent a solution.
6 points:	Asztalos Ádám, Beke Csongor, Csaplár Viktor, Kovács 129 Tamás, Nagy Nándor, Rareș Polenciuc, Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019