Problem B. 5015. (March 2019)
B. 5015. The second intersections of three concurrent unit circles are \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\). What is the radius of the circle \(\displaystyle ABC\)?
Proposed by J. Szoldatics, Budapest
(3 pont)
Deadline expired on April 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre szintén egységnyi sugarú. Jelöljük a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\) egységsugarú körök középpontjait rendre \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\)-rel, a közös metszéspontot pedig \(\displaystyle K\)-val az ábra szerint. A feladat szövege alapján a körök második metszéspontjai \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), továbbá a \(\displaystyle KA\), \(\displaystyle KB\), \(\displaystyle KC\) szakaszok felezőpontjai \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Ugyanakkor ezek a szakaszok egyben a \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalfelező merőlegeseire illeszkednek, tehát a \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalainak felezőpontjai szintén a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok. A körök középpontjai által meghatározott \(\displaystyle PQR\) háromszög mindegyik csúcsa egységnyi távolságra van a \(\displaystyle K\) közös ponttól, ez a pont a \(\displaystyle PQR\) köré írt kör középpontja. Az oldalfelező \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontok körülírt köre a \(\displaystyle PQR\) háromszög Feuerbach-köre, tehát sugara éppen fele a körülírt körnek. Ha ezt a kört a \(\displaystyle K\) pontból kétszeresére nagyítjuk, akkor az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kört kapjuk, tehát ennek sugara egységnyi.
Statistics:
62 students sent a solution. 3 points: 52 students. 2 points: 2 students. 1 point: 4 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019