Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5022. feladat (2019. április)

B. 5022. Adott a síkon néhány egységsugarú kör, mindegyik középpontját kékre színezzük. A körvonalakon megjelölünk néhány pontot pirossal úgy, hogy minden körvonalra pontosan 2 piros pont illeszkedjen. Legfeljebb mekkora a kék pontok száma, ha összesen 25 színezett pont van?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a piros pontok száma \(\displaystyle p\), a kék pontok (és így a szóban forgó körök) száma pedig \(\displaystyle k\). A feltétel szerint \(\displaystyle p+k=25\). Minden kék ponthoz kell lennie (pontosan egy) piros pontpárnak, melynek mindkét tagja pontosan 1 távolságra van a kék ponttól. Ugyanakkor viszont egy piros pontpár legfeljebb két kék ponthoz tartozhat: ahhoz a két ponthoz, melyek a két piros ponttól egységnyi távolságra vannak. (Ha van(nak) ilyen(ek).)

Mindezek alapján

\(\displaystyle k\leq 2\binom{p}{2},\)

ami viszont \(\displaystyle 20<k\) esetén nem teljesülhet, hiszen ekkor a \(\displaystyle 20<k\leq 2\binom{p}{2}<2\binom{5}{2}=20\) ellentmondás adódna. Ezzel beláttuk, hogy a kék pontok száma legfeljebb 20. Most megvizsgáljuk, lehet-e ennyi. Ha \(\displaystyle k=20\), akkor \(\displaystyle p=5\), és a fenti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, ami azt jelenti, hogy minden piros pontpárnak pontosan két kék ponthoz kell tartoznia, vagyis, ha a piros pontok \(\displaystyle P_1,P_2,\dots,P_5\), akkor kék pontok úgy kaphatók, hogy minden \(\displaystyle 1\leq i<j\leq 5\) esetén lennie kell \(\displaystyle K_{ij}\) és \(\displaystyle K_{ij}'\) kék pontoknak, melyek \(\displaystyle P_i\)-től és \(\displaystyle P_j\)-től is egységnyi távolságra vannak: \(\displaystyle P_iK_{ij}=P_jK_{ij}=P_iK_{ij}'=P_jK_{ij}'=1\).

Megmutatjuk, hogy ez megvalósítható. Ha a piros pontok közötti távolságok mindegyike kisebb, mint 2, akkor \(\displaystyle P_i\)-hez és \(\displaystyle P_j\)-hez választhatók megfelelő \(\displaystyle K_{ij}\) és \(\displaystyle K_{ij}'\) pontok, csak arra kell figyelnünk, hogy a kék pontok között ne legyen egybeesés. Ezt például elérhetjük úgy, hogy egy 1 hosszú szakaszról választunk öt tetszőleges pontot, amiket pirosra színezünk. Bármely kettő távolsága kisebb, mint 2, így minden piros pontpárhoz fel tudunk venni két-két kék pontot megfelelően, és a létrejövő kék pontok mind különbözőek lesznek, máskülönben három piros pontnak valamely (kék) pont körüli 1 sugarú körre kellene esnie, ami lehetetlen, hiszen a piros pontok egy egyenesen vannak.

Tehát a kék pontok száma legfeljebb 20 (és ennyi valóban lehet is).


Statisztika:

A B. 5022. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai