Problem B. 5022. (April 2019)

B. 5022. Given some unit circles on the plane, we coloured each centre blue. On the circumferences of the circles, we marked some points red such that there should be exactly 2 red points on the circumference of each circle. What is the maximum possible number of blue points if there are 25 coloured points altogether?

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a piros pontok száma \(\displaystyle p\), a kék pontok (és így a szóban forgó körök) száma pedig \(\displaystyle k\). A feltétel szerint \(\displaystyle p+k=25\). Minden kék ponthoz kell lennie (pontosan egy) piros pontpárnak, melynek mindkét tagja pontosan 1 távolságra van a kék ponttól. Ugyanakkor viszont egy piros pontpár legfeljebb két kék ponthoz tartozhat: ahhoz a két ponthoz, melyek a két piros ponttól egységnyi távolságra vannak. (Ha van(nak) ilyen(ek).)

Mindezek alapján

\(\displaystyle k\leq 2\binom{p}{2},\)

ami viszont \(\displaystyle 20<k\) esetén nem teljesülhet, hiszen ekkor a \(\displaystyle 20<k\leq 2\binom{p}{2}<2\binom{5}{2}=20\) ellentmondás adódna. Ezzel beláttuk, hogy a kék pontok száma legfeljebb 20. Most megvizsgáljuk, lehet-e ennyi. Ha \(\displaystyle k=20\), akkor \(\displaystyle p=5\), és a fenti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, ami azt jelenti, hogy minden piros pontpárnak pontosan két kék ponthoz kell tartoznia, vagyis, ha a piros pontok \(\displaystyle P_1,P_2,\dots,P_5\), akkor kék pontok úgy kaphatók, hogy minden \(\displaystyle 1\leq i<j\leq 5\) esetén lennie kell \(\displaystyle K_{ij}\) és \(\displaystyle K_{ij}'\) kék pontoknak, melyek \(\displaystyle P_i\)-től és \(\displaystyle P_j\)-től is egységnyi távolságra vannak: \(\displaystyle P_iK_{ij}=P_jK_{ij}=P_iK_{ij}'=P_jK_{ij}'=1\).

Megmutatjuk, hogy ez megvalósítható. Ha a piros pontok közötti távolságok mindegyike kisebb, mint 2, akkor \(\displaystyle P_i\)-hez és \(\displaystyle P_j\)-hez választhatók megfelelő \(\displaystyle K_{ij}\) és \(\displaystyle K_{ij}'\) pontok, csak arra kell figyelnünk, hogy a kék pontok között ne legyen egybeesés. Ezt például elérhetjük úgy, hogy egy 1 hosszú szakaszról választunk öt tetszőleges pontot, amiket pirosra színezünk. Bármely kettő távolsága kisebb, mint 2, így minden piros pontpárhoz fel tudunk venni két-két kék pontot megfelelően, és a létrejövő kék pontok mind különbözőek lesznek, máskülönben három piros pontnak valamely (kék) pont körüli 1 sugarú körre kellene esnie, ami lehetetlen, hiszen a piros pontok egy egyenesen vannak.

Tehát a kék pontok száma legfeljebb 20 (és ennyi valóban lehet is).

Statistics:

66 students sent a solution.
3 points:	Bencsik Ádám, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Jánosik Máté, Kovács 129 Tamás, Nádor Benedek, Nagy Nándor, Németh Norbert Marcell, Nguyen Bich Diep, Nyitrai Boglárka, Soós 314 Máté, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth Ábel, Zsigri Bálint.
2 points:	Argay Zsolt, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Bukva Dávid, Csaplár Viktor, Csizmadia Miklós, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Fülöp Csilla, Kerekes Boldizsár, Kitschner Bernadett, Laki Anna, Németh Regő, Sebestyén Pál Botond, Szűcs 064 Tamás, Tot Bagi Márton, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Velich Nóra.
1 point:	7 students.
0 point:	21 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019