Problem B. 5023. (April 2019)

B. 5023. In a triangle \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}\) and \(\displaystyle AC>BC\). Let \(\displaystyle X\) be the midpoint of the arc \(\displaystyle AB\) of the circumscribed circle that does not contain \(\displaystyle C\). The perpendicular drawn to \(\displaystyle CX\) at \(\displaystyle X\) intersects line \(\displaystyle CA\) at \(\displaystyle P\). Show that \(\displaystyle AP=BC\).

Proposed by L. Surányi, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle AB\) átmérőjű kör egyik \(\displaystyle AB\) félkörívének felezőpontja \(\displaystyle X\), így \(\displaystyle BAX\sphericalangle=ABX\sphericalangle=45^\circ\) és \(\displaystyle AX=XB\). Az \(\displaystyle A,X, B, C\) pontok egy körön vannak, így a \(\displaystyle BX\) íven nyugvó \(\displaystyle BCX\) kerületi szög szintén \(\displaystyle 45^\circ\)-os. A kerületi szögekkel további szögegyenlőségek is teljesülnek: \(\displaystyle CAB\sphericalangle=CXB\sphericalangle=\alpha\), mert a \(\displaystyle BC\) íven nyugvó kerületi szögek; \(\displaystyle CBA\sphericalangle=CXA\sphericalangle=\beta\), mert az \(\displaystyle AC\) ívhez tartozó kerületi szögek.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög derékszögű, így \(\displaystyle \alpha+\beta=90^\circ\). Ebből már látható, hogy mivel a \(\displaystyle CX\) szakaszra \(\displaystyle X\)-ben merőlegest állítottunk, ezért az \(\displaystyle AXP\sphericalangle\) szintén az \(\displaystyle \alpha\)-val egyező szög.

Az \(\displaystyle APX\) és \(\displaystyle BCX\) háromszögeknek egy-egy megfelelő oldala és szögei megegyeznek, vagyis egybevágók, tehát a további megfelelő oldalaik –\(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AP\) – is egyenlő hosszúságúak.

A fentiekből azonnal adódik az is, hogy az \(\displaystyle APX\) háromszög a \(\displaystyle BCX\) háromszög \(\displaystyle X\) pont körüli \(\displaystyle 90^\circ\)-os elforgatottja.

Statistics:

74 students sent a solution.
3 points:	52 students.
2 points:	19 students.
1 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019