Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5025. feladat (2019. április)

B. 5025. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), a kör a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban érinti. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BC\) oldal tetszőleges, \(\displaystyle D\)-től különböző belső pontja, a \(\displaystyle DI\) és \(\displaystyle EF\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle MT\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DEF\), \(\displaystyle TDM\) és \(\displaystyle KIT\) körök egy ponton mennek át.

Javasolta: Murad Agazade (Azerbajdzsán)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A \(\displaystyle BMC\) egyenes a \(\displaystyle D\) pontban érinti a beírt kört, ezért \(\displaystyle TDM\measuredangle=IDM\measuredangle=90^\circ\). A Thalész-tétel megfordítása szerint a \(\displaystyle TDM\) derékszögű háromszög köré írt kör középpontja a \(\displaystyle TM\) átfogó felezőpontja, vagyis \(\displaystyle K\).

Legyen \(\displaystyle D\) tükörképe az \(\displaystyle IK\) egyenesre \(\displaystyle D'\). Az \(\displaystyle IK\) egyenes a \(\displaystyle D\) ponton átmenő \(\displaystyle DEF\) és \(\displaystyle TDM\) körök centrálisa, ezért mindkét kör átmegy a \(\displaystyle D'\) ponton. Tehát a feladat megoldásához elegendő az igazolnunk, hogy a \(\displaystyle KIT\) kör is átmegy \(\displaystyle D'\)-n.

A \(\displaystyle TDK\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle KT\) és \(\displaystyle KD\) a beírt kör sugarai, ezért

\(\displaystyle ID'K\measuredangle = KDI\measuredangle = KDT\measuredangle = DTK\measuredangle = ITK\measuredangle. \)

Mivel \(\displaystyle ID'K\measuredangle = ITK\measuredangle\), és a szögek irányítása is azonos (mindkettő a \(\displaystyle KDT\measuredangle\) tükörképe), a kerületi szögek tételének megfordítása miatt \(\displaystyle D'\) rajta van a \(\displaystyle KIT\) körön is.


Statisztika:

A B. 5025. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai