Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5025. feladat (2019. április)

B. 5025. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), a kör a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban érinti. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BC\) oldal tetszőleges, \(\displaystyle D\)-től különböző belső pontja, a \(\displaystyle DI\) és \(\displaystyle EF\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle MT\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DEF\), \(\displaystyle TDM\) és \(\displaystyle KIT\) körök egy ponton mennek át.

Javasolta: Murad Agazade (Azerbajdzsán)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A \(\displaystyle BMC\) egyenes a \(\displaystyle D\) pontban érinti a beírt kört, ezért \(\displaystyle TDM\measuredangle=IDM\measuredangle=90^\circ\). A Thalész-tétel megfordítása szerint a \(\displaystyle TDM\) derékszögű háromszög köré írt kör középpontja a \(\displaystyle TM\) átfogó felezőpontja, vagyis \(\displaystyle K\).

Legyen \(\displaystyle D\) tükörképe az \(\displaystyle IK\) egyenesre \(\displaystyle D'\). Az \(\displaystyle IK\) egyenes a \(\displaystyle D\) ponton átmenő \(\displaystyle DEF\) és \(\displaystyle TDM\) körök centrálisa, ezért mindkét kör átmegy a \(\displaystyle D'\) ponton. Tehát a feladat megoldásához elegendő az igazolnunk, hogy a \(\displaystyle KIT\) kör is átmegy \(\displaystyle D'\)-n.

A \(\displaystyle TDK\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle KT\) és \(\displaystyle KD\) a beírt kör sugarai, ezért

\(\displaystyle ID'K\measuredangle = KDI\measuredangle = KDT\measuredangle = DTK\measuredangle = ITK\measuredangle. \)

Mivel \(\displaystyle ID'K\measuredangle = ITK\measuredangle\), és a szögek irányítása is azonos (mindkettő a \(\displaystyle KDT\measuredangle\) tükörképe), a kerületi szögek tételének megfordítása miatt \(\displaystyle D'\) rajta van a \(\displaystyle KIT\) körön is.


Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Baski Bence, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Csaplár Viktor, Fekete Richárd, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Kerekes Boldizsár, Kitschner Bernadett, Kovács 129 Tamás, Nagy 551 Levente, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Rareș Polenciuc, Sebestyén Pál Botond, Stomfai Gergely, Szabó 991 Kornél, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai