Problem B. 5026. (April 2019)

B. 5026. Let \(\displaystyle P\) be an arbitrary point of a given ellipse, different from the endpoints of the major axis. \(\displaystyle P\) is connected to the foci \(\displaystyle F_1\) and \(\displaystyle F_2\). The angle bisector of angle \(\displaystyle \angle F_1PF_2\) intersects \(\displaystyle F_1F_2\) at \(\displaystyle E\). The circle which passes through \(\displaystyle P\) and touches \(\displaystyle F_1F_2\) at \(\displaystyle E\) intersects \(\displaystyle PF_1\) at \(\displaystyle G\) and \(\displaystyle PF_2\) at \(\displaystyle H\). Show that the length of \(\displaystyle GH\) does not depend on the choice of \(\displaystyle P\).

Proposed by L. Németh, Fonyód

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kerületi szögek tétele miatt a \(\displaystyle GE\) és \(\displaystyle EH\) körívek egyenlő hosszúak, ezért \(\displaystyle GH\) párhuzamos \(\displaystyle F_1F_2\)-vel. Ebből következik, hogy a \(\displaystyle PGH\) és \(\displaystyle PF_1F_2\) háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya \(\displaystyle h=\frac{GH}{F_1F_2}=\frac{PG}{PF_1}\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle h\) nem függ a \(\displaystyle P\) pont helyzetétől.

A szögfelező tétel miatt \(\displaystyle F_2E/F_1E=PF_2/PF_1\), így

\(\displaystyle \frac{F_1F_2}{F_1E}=1+\frac{F_2E}{F_1E}=1+\frac{PF_2}{PF_1}=\frac{PF_1+PF_2}{PF_1}, \)

innen pedig \(\displaystyle F_1E=\dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\cdot PF_1\).

Emiatt az \(\displaystyle F_1\) pontnak a körre vonatkozó hatványa

\(\displaystyle F_1G\cdot PF_1=F_1E^2=\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\cdot PF_1 \right)^2, \)

ezért \(\displaystyle F_1G=\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\right)^2\cdot PF_1\), tehát

\(\displaystyle h=\frac{PG}{PF_1}=\frac{PF_1-F_1G}{PF_1}=1-\frac{F_1G}{PF_1}=1-\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\right)^2, \)

ami valóban független a \(\displaystyle P\) pont helyzetétől, és így \(\displaystyle GH=h\cdot F_1F_2\) is.

Statistics:

26 students sent a solution.
4 points:	Baski Bence, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Csaplár Viktor, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Rareș Polenciuc, Sándor Péter, Sebestyén Pál Botond, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Tóth Ábel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019