Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5028. feladat (2019. április)

B. 5028. Ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle XYZ\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle YZ\) oldalának egy pontja, akkor jelölje \(\displaystyle f(P;XYZ)\) a \(\displaystyle P\)-ből az \(\displaystyle XY\), illetve \(\displaystyle XZ\) egyenesekre bocsátott merőlegesek talppontjaira illeszkedő egyenest.

Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle H\), talpponti háromszöge \(\displaystyle A'B'C'\). Legyen \(\displaystyle A''\equiv f(B';HCA) \cap f(C';HAB)\). Hasonlóan definiáljuk a \(\displaystyle B''\) és \(\displaystyle C''\) pontokat. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AA''\), \(\displaystyle BB''\) és \(\displaystyle CC''\) egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: K V Sudharshan

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle A'B'C'\) megfelelő oldalfelező pontjai \(\displaystyle F_A\) és \(\displaystyle F_B\) az ábra szerint, és messe \(\displaystyle F_AF_B\) az \(\displaystyle AA'\) magasságot \(\displaystyle I\)-ben. (\(\displaystyle I\) létezik, mert \(\displaystyle F_AF_B\parallel A'B'\), és \(\displaystyle A'B'\) nem lehet a magasságvonal, mert az \(\displaystyle ABC\triangle\) hegyesszögű.) Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle A''=F_A\) és \(\displaystyle B''=F_B\).

Az \(\displaystyle ABA'B'\) és \(\displaystyle ACA'C'\) négyszögek húrnégyszögek, mert az \(\displaystyle A'\) és \(\displaystyle B'\) pontok, ill. az \(\displaystyle A'\) és \(\displaystyle C'\) pontok a Thalész-tétel megfordítása miatt illeszkednek az \(\displaystyle AB\), ill. \(\displaystyle AC\) szakaszok Thalész-körére. A két húrnégyszög \(\displaystyle A'\)-nél lévő külső szögeire \(\displaystyle B'A'C\angle=C'A'B\angle=\alpha\).


Statisztika:

A B. 5028. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai