 |
A B. 5029. feladat (2019. április) |
B. 5029. Tegyük fel, hogy egy focicsapat eddigi története során 1000 mérkőzést játszott és összesen 1000 pontot szerzett. (Győzelem esetén 3 pontot, döntetlen esetén 1 pontot kap, vereség esetén pedig nem kap pontot egy csapat.) Bizonyítsuk be, hogy a meccseken szerzett pontok sorozata legfeljebb \(\displaystyle {(2{,}9)}^{1000}\)-féle lehet.
(6 pont)
A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsük az
\(\displaystyle (1+x+x^3)^{1000}=a_{3000}x^{3000}+a_{2999}x^{2999}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=:p(x)\)
polinomot. Az \(\displaystyle a_i\) együttható értéke éppen azt mondja meg, hogy hány olyan eredménysorozat van, melynél a csapat 1000 meccs alatt éppen \(\displaystyle i\) pontot szerez. Ugyanis: a zárójeleket felbontva a keletkező \(\displaystyle 3^{1000}\) darab szorzat mindegyike úgy áll elő, hogy minden tényezőből vagy az \(\displaystyle 1=x^0\) vagy az \(\displaystyle x^1\) vagy az \(\displaystyle x^3\) tagot választjuk, a kitevők pedig megfeleltethetők a meccsen szerzett pontok számának.
A feladat tehát \(\displaystyle a_{1000}\leq (2,9)^{1000}\) igazolását kéri. Mivel az összes \(\displaystyle a_i\) (\(\displaystyle 0\leq i\leq 1000)\) együttható nemnegatív, ezért bármely nemnegatív \(\displaystyle x\) esetén \(\displaystyle p(x)\geq a_{1000}x^{1000}\):
\(\displaystyle (1+x+x^3)^{1000}\geq a_{1000}x^{1000},\)
amiből tehát kapjuk, hogy
| \(\displaystyle \left(\frac{1+x+x^3}{x}\right)^{1000}\geq a_{1000} \) | \(\displaystyle {(*)}\) |
teljesül bármely pozitív \(\displaystyle x\) esetén. Ahhoz, hogy ebből a legjobb becslést nyerjük \(\displaystyle a_{1000}\)-re, megkeressük \(\displaystyle \frac{1+x+x^3}{x}\) minimumát. Mivel \(\displaystyle \frac{1+x+x^3}{x}=1+\frac1x+x^2\), ezért \(\displaystyle \frac1x+x^2\) minimumát vizsgáljuk, amit a számtani-mértani közepek segítségével könnyen megtalálhatunk:
\(\displaystyle \frac1x+x^2=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+x^2=3\cdot \frac{\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+x^2}{3}\geq 3\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2x}\cdot\frac{1}{2x}\cdot x^2}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}},\)
és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \frac{1}{2x}=x^2\), azaz, ha \(\displaystyle x=\frac{1}{2^{1/3}}\).
Ezek alapján a \(\displaystyle (*)\) egyenlőtlenséget írjuk fel \(\displaystyle x=\frac{1}{2^{1/3}}\)-re:
\(\displaystyle \left(\frac{1+\frac{1}{2^{1/3}}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2^{1/3}}}\right)^{1000}\geq a_{1000}, \)
itt a bal oldal értéke \(\displaystyle \left(1+\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\right)^{1000}\), így \(\displaystyle 1+\frac{3}{\sqrt[3]{4}}=2,88988\dots\) alapján ezzel igazoltuk, hogy a meccseken szerzett pontok sorozata legfeljebb \(\displaystyle (2,9)^{1000}\)-féle lehet.
Statisztika:
16 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Beke Csongor, Telek Zsigmond . 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai