Problem B. 5029. (April 2019)
B. 5029. Assume that a certain football team have played 1000 games altogether, and scored 1000 points altogether since the team was founded. (A team score 3 points for every game they win, 1 point for a draw and no points for games they lose.) Prove that there are at most \(\displaystyle {(2.9)}^{1000}\) possible sequences of the 1000 scores.
(6 pont)
Deadline expired on May 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tekintsük az
\(\displaystyle (1+x+x^3)^{1000}=a_{3000}x^{3000}+a_{2999}x^{2999}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=:p(x)\)
polinomot. Az \(\displaystyle a_i\) együttható értéke éppen azt mondja meg, hogy hány olyan eredménysorozat van, melynél a csapat 1000 meccs alatt éppen \(\displaystyle i\) pontot szerez. Ugyanis: a zárójeleket felbontva a keletkező \(\displaystyle 3^{1000}\) darab szorzat mindegyike úgy áll elő, hogy minden tényezőből vagy az \(\displaystyle 1=x^0\) vagy az \(\displaystyle x^1\) vagy az \(\displaystyle x^3\) tagot választjuk, a kitevők pedig megfeleltethetők a meccsen szerzett pontok számának.
A feladat tehát \(\displaystyle a_{1000}\leq (2,9)^{1000}\) igazolását kéri. Mivel az összes \(\displaystyle a_i\) (\(\displaystyle 0\leq i\leq 1000)\) együttható nemnegatív, ezért bármely nemnegatív \(\displaystyle x\) esetén \(\displaystyle p(x)\geq a_{1000}x^{1000}\):
\(\displaystyle (1+x+x^3)^{1000}\geq a_{1000}x^{1000},\)
amiből tehát kapjuk, hogy
| \(\displaystyle \left(\frac{1+x+x^3}{x}\right)^{1000}\geq a_{1000} \) | \(\displaystyle {(*)}\) |
teljesül bármely pozitív \(\displaystyle x\) esetén. Ahhoz, hogy ebből a legjobb becslést nyerjük \(\displaystyle a_{1000}\)-re, megkeressük \(\displaystyle \frac{1+x+x^3}{x}\) minimumát. Mivel \(\displaystyle \frac{1+x+x^3}{x}=1+\frac1x+x^2\), ezért \(\displaystyle \frac1x+x^2\) minimumát vizsgáljuk, amit a számtani-mértani közepek segítségével könnyen megtalálhatunk:
\(\displaystyle \frac1x+x^2=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+x^2=3\cdot \frac{\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+x^2}{3}\geq 3\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2x}\cdot\frac{1}{2x}\cdot x^2}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}},\)
és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \frac{1}{2x}=x^2\), azaz, ha \(\displaystyle x=\frac{1}{2^{1/3}}\).
Ezek alapján a \(\displaystyle (*)\) egyenlőtlenséget írjuk fel \(\displaystyle x=\frac{1}{2^{1/3}}\)-re:
\(\displaystyle \left(\frac{1+\frac{1}{2^{1/3}}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2^{1/3}}}\right)^{1000}\geq a_{1000}, \)
itt a bal oldal értéke \(\displaystyle \left(1+\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\right)^{1000}\), így \(\displaystyle 1+\frac{3}{\sqrt[3]{4}}=2,88988\dots\) alapján ezzel igazoltuk, hogy a meccseken szerzett pontok sorozata legfeljebb \(\displaystyle (2,9)^{1000}\)-féle lehet.
Statistics:
16 students sent a solution. 6 points: Beke Csongor, Telek Zsigmond . 4 points: 1 student. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 9 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019