Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5031. feladat (2019. május)

B. 5031. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AD\) oldalának \(\displaystyle D\)-n túli meghosszabbításán vegyük fel az \(\displaystyle F\) pontot. A \(\displaystyle BF\) szakasz a \(\displaystyle CD\) oldalt a \(\displaystyle G\), az \(\displaystyle AC\) átlót pedig az \(\displaystyle E\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \frac{1}{BE}=\frac{1}{BG}+\frac{1}{BF}. \)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás.

Az \(\displaystyle FB\) egyenes elválasztja a \(\displaystyle C\) pontot az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) pontoktól, így az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle G\) metszéspontok biztosan az \(\displaystyle AC\), illetve a \(\displaystyle DC\) szakaszon vannak. Az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle CGE\) háromszögek hasonlók, mert \(\displaystyle E\)-nél fekvő szögeik csúcsszögek, az \(\displaystyle A\)-nál és \(\displaystyle C\)-nél, illetve \(\displaystyle B\)-nél és \(\displaystyle G\)-nél fekvő szögeik pedig váltószögek az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) párhuzamossága miatt. A megfelelő oldalak aránya:

\(\displaystyle \frac{GE}{BE}=\frac{CG}{AB}.\)

Szintén hasonlók az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle CGB\) háromszögek is, mert a megfelelő szögeik váltószögek. Itt az oldalak aránya:

\(\displaystyle \frac{BG}{BF}=\frac{CG}{AB}.\)

Az arányok egyenlőségéből:

\(\displaystyle \frac{BG}{BF}=\frac{GE}{BE}=\frac{BG-BE}{BE}=\frac{BG}{BE}-1.\)

Mindkét oldalhoz \(\displaystyle 1\)-et adva és \(\displaystyle BG\)-vel osztva a bizonyítandó összefüggést kapjuk:

\(\displaystyle \frac{BG}{BF}+1=\frac{BG}{BE},\)

\(\displaystyle \frac{1}{BF}+\frac{1}{BG}=\frac{1}{BE}. \)


Statisztika:

A B. 5031. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai