Problem B. 5031. (May 2019)

B. 5031. Let \(\displaystyle F\) be a point on the extension of side \(\displaystyle AD\) of parallelogram \(\displaystyle ABCD\) beyond vertex \(\displaystyle D\). Line segment \(\displaystyle BF\) intersects side \(\displaystyle CD\) at \(\displaystyle G\) and diagonal \(\displaystyle AC\) at \(\displaystyle E\). Show that \(\displaystyle \frac{1}{BE}=\frac{1}{BG}+\frac{1}{BF}\).

(3 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Az \(\displaystyle FB\) egyenes elválasztja a \(\displaystyle C\) pontot az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) pontoktól, így az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle G\) metszéspontok biztosan az \(\displaystyle AC\), illetve a \(\displaystyle DC\) szakaszon vannak. Az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle CGE\) háromszögek hasonlók, mert \(\displaystyle E\)-nél fekvő szögeik csúcsszögek, az \(\displaystyle A\)-nál és \(\displaystyle C\)-nél, illetve \(\displaystyle B\)-nél és \(\displaystyle G\)-nél fekvő szögeik pedig váltószögek az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) párhuzamossága miatt. A megfelelő oldalak aránya:

\(\displaystyle \frac{GE}{BE}=\frac{CG}{AB}.\)

Szintén hasonlók az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle CGB\) háromszögek is, mert a megfelelő szögeik váltószögek. Itt az oldalak aránya:

\(\displaystyle \frac{BG}{BF}=\frac{CG}{AB}.\)

Az arányok egyenlőségéből:

\(\displaystyle \frac{BG}{BF}=\frac{GE}{BE}=\frac{BG-BE}{BE}=\frac{BG}{BE}-1.\)

Mindkét oldalhoz \(\displaystyle 1\)-et adva és \(\displaystyle BG\)-vel osztva a bizonyítandó összefüggést kapjuk:

\(\displaystyle \frac{BG}{BF}+1=\frac{BG}{BE},\)

\(\displaystyle \frac{1}{BF}+\frac{1}{BG}=\frac{1}{BE}. \)

Statistics:

43 students sent a solution.
3 points:	Argay Zsolt, Baski Bence, Bencsik Ádám, Biczó Benedek, Bognár 171 András Károly, Bursics András, Csaplár Viktor, Fekete Richárd, Fraknói Ádám, Fülöp Csilla, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kitschner Bernadett, Kovács 129 Tamás, Laki Anna, Lovas Márton, Markó Gábor, Nagy 551 Levente, Nguyen Bich Diep, Nyitrai Boglárka, Páhán Anita Dalma, Rareș Polenciuc, Reimann Kristóf, Richlik Róbert, Sándor Péter, Sebestyén Pál Botond, Stomfai Gergely, Szabó 991 Kornél, Tálos Zoltán, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tóth 057 Bálint, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra.
1 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019