Problem B. 5032. (May 2019)
B. 5032. In the interior of an isosceles triangle, what is the locus of points for which the distance from the base is the geometric mean of the distances from the legs?
(4 pont)
Deadline expired on June 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Helyezzük el a háromszöget derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy az alap végpontjainak koordinátái \(\displaystyle (a,m)\) és \(\displaystyle (-a,m)\) legyenek, a harmadik csúcs pedig az origó. A szárak egyenesének egyenlete ekkor
\(\displaystyle e_1:\ mx-ay=0 ~\,\,\text{és}~\,\, e_2:\ mx+ay=0. \)
A háromszöglemez \(\displaystyle (\xi, \eta)\) koordinátájú pontjának az \(\displaystyle e_1\), illetve \(\displaystyle e_2\) egyenestől való előjeles távolsága rendre
\(\displaystyle d_1=\frac{1}{\sqrt{m^2+a^2}}(m\xi -a\eta) ~\,\,\text{és}~\,\, d_2=\frac{1}{\sqrt{m^2+a^2}}(m\xi +a\eta); \)
e két távolság különböző előjelű, ezért a mértani közepük négyzete
\(\displaystyle -d_1d_2 = -\frac{1}{m^2+a^2}(m^2\xi^2 -a^2\eta^2). \)
A \(\displaystyle (\xi, \eta)\) koordinátájú pontnak az alaptól való nemnegatív távolsága \(\displaystyle \eta -m\), így a keresett alakzat háromszögbe eső részének egyenlete:
\(\displaystyle -\frac{1}{m^2+a^2}(m^2\xi^2 -a^2\eta^2) = (\eta -m)^2, \)
azaz
\(\displaystyle \xi^2 + \eta^2 -2\frac{m^2+a^2}{m}\eta + (m^2+a^2) = 0, \)
ami egy kör egyenlete.
A mértani helyhez a háromszög alapjának mindkét végpontja és a beírt kör középpontja is nyilván hozzá tartozik, ezért a keresett pontok halmaza e három pont által meghatározott körvonalnak a háromszög lemezre eső íve.
Statistics:
33 students sent a solution. 4 points: Beke Csongor, Bencsik Ádám, Csaplár Viktor, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Laki Anna, Lovas Márton, Ludányi Levente, Nyitrai Boglárka, Rareș Polenciuc, Richlik Róbert, Sándor Péter, Sebestyén Pál Botond, Stomfai Gergely, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté. 3 points: Baski Bence, Kovács 129 Tamás, Nagy 551 Levente. 2 points: 1 student. 1 point: 4 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019