Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5034. feladat (2019. május)

B. 5034. Bizonyítandó, hogy ha egy konvex négyszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\), \(\displaystyle \delta\), és egyik sem derékszög, akkor

\(\displaystyle \tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma+\tg \delta=\tg \alpha\cdot\tg \beta\cdot\tg \gamma\cdot \tg \delta(\ctg \alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma+\ctg\delta). \)

Surányi János feladata

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy az igazolandó egyenletben szereplő kifejezések értelmesek, hiszen a szögek mindegyike derékszögtől különböző, \(\displaystyle 0^\circ\) és \(\displaystyle 180^\circ\) közötti szög.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy \(\displaystyle \alpha\leq \beta\leq \gamma\leq \delta\). Ekkor \(\displaystyle 0^\circ <\alpha < 90^\circ\) (hiszen a legkisebb szög legfeljebb \(\displaystyle 90^\circ\)-os) és \(\displaystyle 90^\circ < \delta <180^\circ\) (hiszen a legnagyobb szög legalább \(\displaystyle 90^\circ\)-os) alapján \(\displaystyle 90^\circ <\alpha+\delta<270^\circ\). Tehát sem \(\displaystyle \alpha+\delta\), sem \(\displaystyle \beta+\gamma\) értéke nem lehet \(\displaystyle 90^\circ\) vagy \(\displaystyle 270^\circ\), és így \(\displaystyle \tg(\alpha+\delta)\) és \(\displaystyle \tg(\beta+\gamma)\) értelmesek. Továbbá, mivel \(\displaystyle (\alpha+\delta)+(\beta+\gamma)=360^\circ\), ezért

\(\displaystyle \tg(\alpha+\delta)+\tg(\beta+\gamma)=0.\)

Legyen \(\displaystyle a=\tg\alpha\), \(\displaystyle b=\tg\beta\), \(\displaystyle c=\tg\gamma\) és \(\displaystyle d=\tg\delta\). Ekkor a tangens addíciós képlete alapján kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{a+d}{1-ad}+\frac{b+c}{1-bc}=0.\)

Ebből a nevezőkkel való felszorzás után:

\(\displaystyle (a+d)(1-bc)+(b+c)(1-ad)=0,\)

azaz

\(\displaystyle a+b+c+d=abc+abd+acd+bcd.\)

A kapott egyenlet bal oldala \(\displaystyle \tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma+\tg \delta\), jobb oldala pedig éppen \(\displaystyle \tg \alpha\cdot\tg \beta\cdot\tg \gamma\cdot \tg \delta(\ctg \alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma+\ctg\delta),\) vagyis igazoltuk a bizonyítandó egyenlőséget.


Statisztika:

A B. 5034. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai