Problem B. 5034. (May 2019)

B. 5034. Prove that if none of the angles \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\), \(\displaystyle \delta\) of a convex quadrilateral are right angles then \(\displaystyle \tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma+\tan \delta=\tan \alpha\cdot\tan \beta\cdot\tan \gamma\cdot \tan \delta(\cot \alpha+\cot\beta+\cot\gamma+\cot\delta)\).

A problem of J. Surányi

(3 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy az igazolandó egyenletben szereplő kifejezések értelmesek, hiszen a szögek mindegyike derékszögtől különböző, \(\displaystyle 0^\circ\) és \(\displaystyle 180^\circ\) közötti szög.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy \(\displaystyle \alpha\leq \beta\leq \gamma\leq \delta\). Ekkor \(\displaystyle 0^\circ <\alpha < 90^\circ\) (hiszen a legkisebb szög legfeljebb \(\displaystyle 90^\circ\)-os) és \(\displaystyle 90^\circ < \delta <180^\circ\) (hiszen a legnagyobb szög legalább \(\displaystyle 90^\circ\)-os) alapján \(\displaystyle 90^\circ <\alpha+\delta<270^\circ\). Tehát sem \(\displaystyle \alpha+\delta\), sem \(\displaystyle \beta+\gamma\) értéke nem lehet \(\displaystyle 90^\circ\) vagy \(\displaystyle 270^\circ\), és így \(\displaystyle \tg(\alpha+\delta)\) és \(\displaystyle \tg(\beta+\gamma)\) értelmesek. Továbbá, mivel \(\displaystyle (\alpha+\delta)+(\beta+\gamma)=360^\circ\), ezért

\(\displaystyle \tg(\alpha+\delta)+\tg(\beta+\gamma)=0.\)

Legyen \(\displaystyle a=\tg\alpha\), \(\displaystyle b=\tg\beta\), \(\displaystyle c=\tg\gamma\) és \(\displaystyle d=\tg\delta\). Ekkor a tangens addíciós képlete alapján kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{a+d}{1-ad}+\frac{b+c}{1-bc}=0.\)

Ebből a nevezőkkel való felszorzás után:

\(\displaystyle (a+d)(1-bc)+(b+c)(1-ad)=0,\)

azaz

\(\displaystyle a+b+c+d=abc+abd+acd+bcd.\)

A kapott egyenlet bal oldala \(\displaystyle \tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma+\tg \delta\), jobb oldala pedig éppen \(\displaystyle \tg \alpha\cdot\tg \beta\cdot\tg \gamma\cdot \tg \delta(\ctg \alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma+\ctg\delta),\) vagyis igazoltuk a bizonyítandó egyenlőséget.

Statistics:

26 students sent a solution.
3 points:	Baski Bence, Füredi Erik Benjámin, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Laki Anna, Móricz Aurél, Nguyen Bich Diep, Nyitrai Boglárka, Rareș Polenciuc, Richlik Róbert, Sándor Péter, Stomfai Gergely, Szűcs 064 Tamás, Tiderenczl Dániel, Tubak Dániel, Zdeněk Pezlar.
2 points:	Apagyi Dávid, Farkas Boróka, Geretovszky Anna, Telek Zsigmond , Török Mátyás, Velich Nóra.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019