Problem B. 5036. (May 2019)

B. 5036. From a point \(\displaystyle M\), two tangents are drawn to a right-angled hyperbola of centre \(\displaystyle O\). One tangent intersects an asymptote at point \(\displaystyle P\), and the other tangent intersects the other asymptote at point \(\displaystyle Q\). Prove that line \(\displaystyle OM\) bisects the line segment \(\displaystyle PQ\).

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két aszimptota \(\displaystyle i\) és \(\displaystyle j\), a két aszimptota ideális pontjai \(\displaystyle I\), illetve \(\displaystyle J\). Az aszimptoták az ideális pontokban érintik a hiperbolát. Továbbá legyen \(\displaystyle p=MP\) és \(\displaystyle q=MQ\), \(\displaystyle R=q\cap i\) és \(\displaystyle S=p\cap j\).

A Brianchon-tételt a hiperbola \(\displaystyle p,i,i,q,j,j\) érintőire, avagy a \(\displaystyle PIRQJS\) elfajult érintőhatszögre felírva látjuk, hogy a \(\displaystyle PQ\), \(\displaystyle RS\) és \(\displaystyle IJ\) egyenesek egy ponton mennek át, vagyis \(\displaystyle PQ\|RS\). Tehát \(\displaystyle PQRS\) trapéz, \(\displaystyle M\) a szárak, \(\displaystyle O\) az átlók metszéspontja. Az ezeket összekötő egyenes felezi a két alapot, vagyis \(\displaystyle PQ\)-t és \(\displaystyle RS\)-et.

Statistics:

17 students sent a solution.
5 points:	Beke Csongor, Csaplár Viktor, Fekete Richárd, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Nagy Nándor, Rareș Polenciuc, Richlik Róbert, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019