Problem B. 5039. (September 2019)

B. 5039. Every entry in a \(\displaystyle 2019\times 2019\) table is either \(\displaystyle (+1)\) or \(\displaystyle (-1)\). If the sum of each row and the sum of each column are calculated, how many different numbers may be obtained at most?

Proposed by I. Blahota, Nyíregyháza

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minden sor-, és oszlopösszeg \(\displaystyle 2019\) darab páratlan szám összege, így mindenképpen páratlan. A mezőkbe írt számok abszolút értéke \(\displaystyle 1\), így az összegek abszolút értéke legfeljebb \(\displaystyle 2019\) lehet. Ez tehát azt jelenti, hogy csak \(\displaystyle -2019\) és \(\displaystyle 2019\) közötti páratlan számokat kaphatunk összegként, ezek száma \(\displaystyle 2020\).

Megmutatjuk, hogy van olyan kitöltés, aminél mind a \(\displaystyle 2020\) lehetséges értéket megkapjuk.

Ha a főátlón (bal felső és jobb alsó mezőket tartalmazó átlón), és felette minden mezőbe \(\displaystyle (+1)\)-et írunk, a főátló alatt pedig mindenhova \(\displaystyle (-1)\)-et, akkor a sorösszegek rendre \(\displaystyle 2019,~2017,\dots,-2017\), az oszlopösszegek pedig rendre \(\displaystyle -2017,-2015,\dots,~2019\). Ezzel minden \(\displaystyle -2019\) és \(\displaystyle 2019\) közötti páratlan értéket megkapunk a \(\displaystyle -2019\) kivételével.

Ha most a bal felső mezőbe írt értéket átváltoztatjuk \(\displaystyle (-1)\)-re, akkor csak az az első sorösszeg és az első oszlopösszeg változik meg, előbbi \(\displaystyle 2019\)-ről \(\displaystyle 2017\)-re, utóbbi pedig \(\displaystyle -2017\)-ről \(\displaystyle -2019\)-re. Mivel a \(\displaystyle 2019\) és a \(\displaystyle -2017\) szerepelt máshol is, az így kapott kitöltésnél már mind a \(\displaystyle 2020\)-féle értéket megkapjuk.

Tehát legfeljebb \(\displaystyle 2020\)-féle különböző számot kaphatunk (és ezek \(\displaystyle -2019,-2017,\dots,~2019\)), és van is olyan kitöltés, amikor ennyit kapunk.

Statistics:

206 students sent a solution.
3 points:	143 students.
2 points:	22 students.
1 point:	30 students.
0 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2019