Problem B. 5048. (October 2019)

B. 5048. The base of a pyramid is a convex polygon, and the areas of the lateral faces are equal. Select an arbitrary point on the base, and consider the sum of the distances of this point from the lateral faces. Prove that the sum is independent of the choice of the point on the base.

(Croatian problem)

(3 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az oldallapok azonos területe \(\displaystyle T\). Az alaplap egy tetszőleges pontját összekötve a háromszög alakú oldallapok csúcsaival olyan tetraédereket kapunk, amelyek hézag- és átfedésmentesen kitöltik a gúlát. A gúla térfogata legyen \(\displaystyle V\), míg a kiválasztott pont távolsága az oldallapoktól rendre \(\displaystyle d_1,d_2,...,d_n\). Ekkor a tetraéder térfogatára:

\(\displaystyle V=\dfrac{d_1 \cdot T}{3} + \dfrac{d_2 \cdot T}{3} + ... +\dfrac{d_n \cdot T}{3} = \dfrac{(d_1+d_2 + ... + d_n) \cdot T}{3} \Rightarrow d_1+d_2 + ... + d_n = \dfrac{3V}{T}.\)

Mivel \(\displaystyle V\) és \(\displaystyle T\) állandók, ezért a távolságok összege is állandó, azaz az összeg valóban nem függ a pont választásától.

Statistics:

100 students sent a solution.
3 points:	86 students.
2 points:	7 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019