Problem B. 5050. (October 2019)

B. 5050. Solve the equation

\(\displaystyle \cos(3x)+\cos^2x=0. \)

(3 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az addíciós tételek ismételt alkalmazásával:

\(\displaystyle \cos 3x=\cos x\cos2x-\sin x\sin2x=\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)-\sin x(2\sin x \cos x)=\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x=4\cos^3 x-3\cos x.\)

Ezt az egyenletbe behelyettesítve:

\(\displaystyle 4\cos^3 x+\cos^2 x-3\cos x=0.\)

Ez egy \(\displaystyle z=\cos x\)-ben harmadfokú egyenlet, aminek \(\displaystyle z_1=0\) az egyik megoldása:

\(\displaystyle 4z^3+z^2-3z=0,\)

\(\displaystyle z(4z^2+z-3)=0.\)

A másik két megoldás: \(\displaystyle z_{2,3}=\frac{-1\pm 7}{8}\), vagyis \(\displaystyle z_2=-1\) és \(\displaystyle z_3=\frac34\).

Így egy \(\displaystyle x\) valós szám pontosan akkor megoldása az egyenletnek, ha \(\displaystyle \cos x\in \{0,-1,\frac34 \}\). Ezek az \(\displaystyle x\)-ek a következő alakban állnak elő: \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+k\pi\), \(\displaystyle \pi+2k\pi\), \(\displaystyle \pm\arccos(3/4)+2k\pi\) (ahol \(\displaystyle k\) mindhárom esetben tetszőleges egész szám).

Statistics:

155 students sent a solution.
3 points:	96 students.
2 points:	33 students.
1 point:	20 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019