Problem B. 5051. (October 2019)

B. 5051. The sides of quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) are \(\displaystyle AB=8\), \(\displaystyle BC=5\), \(\displaystyle CD=17\) and \(\displaystyle DA=10\). The intersection of diagonals \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle BD\) is \(\displaystyle E\), and \(\displaystyle BE:ED=1:2\). What is the area of the quadrilateral?

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AC\) átló hossza \(\displaystyle x\).

Mivel az átlók metszéspontja a \(\displaystyle BD\) átlót \(\displaystyle 1:2\) arányban osztja, ezért az \(\displaystyle AC\) oldalhoz tartozó magasság az \(\displaystyle ABC\) háromszögben feleakkora, mint az \(\displaystyle ACD\) háromszögben, tehát az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe fele az \(\displaystyle ACD\) háromszög területének.

Írjuk fel a két háromszögre a Heron-képletet és használjuk fel, hogy \(\displaystyle 2\cdot T_{ABC} =T_{ACD}\):

\(\displaystyle 2\sqrt{\frac{13+x}{2}\cdot \frac{13-x}{2}\cdot \frac{x+3}{2}\cdot \frac{x-3}{2}}=\sqrt{\frac{27+x}{2}\cdot \frac{27-x}{2}\cdot \frac{x+7}{2}\cdot \frac{x-7}{2}}.\)

Négyzetre emelve és algebrai azonosságok felhasználása után:

\(\displaystyle 4(169-x^2)(x^2-9)=(729-x^2)(x^2-49),\)

majd rendezve:

\(\displaystyle x^4+22x^2-9879=0.\)

Az \(\displaystyle x^2\)-re másodfokú egyenlet egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle 89\). A négyszög területe:

\(\displaystyle T=3\cdot T_{ABC}=3\cdot \sqrt{\frac{(169-x^2)(x^2-9)}{16}}=3\cdot \sqrt{\frac{80\cdot 80}{16}}=60. \)

Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe \(\displaystyle 60\) egység.

Statistics:

78 students sent a solution.
5 points:	59 students.
4 points:	6 students.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019