Problem B. 5053. (October 2019)
B. 5053. Let \(\displaystyle G\) denote the inscribed sphere of a tetrahedron \(\displaystyle ABCD\), and let \(\displaystyle G_A\) be the escribed sphere touching the face \(\displaystyle BCD\). Let \(\displaystyle T\) be the tetrahedron formed by the points of tangency of \(\displaystyle G\) on the planes of the faces, and let \(\displaystyle T_A\) be the tetrahedron formed by the points of tangency of \(\displaystyle G_A\) on the planes of the faces. Show that
\(\displaystyle \frac{V^3(T)}{V^3(T_A)} =\frac{V^2(G)}{V^2(G_A)} \)
holds for the volumes of the tetrahedra and the spheres.
(6 pont)
Deadline expired on November 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tekintsünk először egy hasznos lemmát bizonyítással együtt:
Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) pontokon át közös érintőket húzunk a körökhöz. Ekkor a piros szakaszok távolsága megegyezik a kék szakaszok távolságával.
[Ez a B. 5008. feladat, melynek egyik bizonyítása itt olvasható, további bizonyítások majd valamikor a nyomtatott lapban lesznek olvashatók. – Szerk.]
Ezt az inverzó távolságképletével fogjuk levezetni:
Legyenek \(\displaystyle AB = a\) , \(\displaystyle BD = b\) , \(\displaystyle DF = c\) szakaszhosszok, és legyen a \(\displaystyle B\) középpontú kör sugarának hossza 1, továbbá jelölje \(\displaystyle x\) a másik kör sugarának hosszát.
Ekkor az \(\displaystyle x = \frac{a+b+c}{a} = \frac{c}{b} \) arányok adódnak a külső és a belső hasonlósági pont tulajdonságai miatt.
Az igazolandó állítás megfogalmazható az alábbi módon:
\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{x^2}{c} - \frac{x^2}{a+b+c},\)
\(\displaystyle \frac{a + b}{ab} = x^2\Bigg(\frac{a+b+c-c}{c(a+b+c)}\Bigg),\)
\(\displaystyle \frac{1}{ab} = x^2\Bigg(\frac{1}{c(a+b+c)}\Bigg),\)
\(\displaystyle \frac{(a+b+c)c}{ab} = x^2 = \Bigg( \frac{a+b+c}{a} \cdot \frac{c}{b}\Bigg).\)
Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a hasznos lemmát igazoltuk.
Legyen az \(\displaystyle \frac{r(G_A)}{r(G)} = x\) arány a gömbök sugarainak aránya. Ekkor a térfogatképlet alapján: \(\displaystyle V(gömb) = \frac{4\pi}{3}r(gömb)^3\), vagyis egy gömb térfogata a sugarának 3. hatványával arányos. Így a térfogatok arányának négyzete \(\displaystyle \frac{V^2(G_A)}{V^2(G)} = x^6\).
Tehát már csak azt kell igazolni, hogy \(\displaystyle \frac{V(T_A)}{V(T)} = x^2\). A \(\displaystyle BCD\) síkkal vett érintési pontokat figyelmen kívül hagyva azt látjuk, hogy a tetraéderek alapjai \(\displaystyle A\)-ból egy nagyítással egymásba vihetők, tehát párhuzamosak is. Ez a nagyítás pedig éppen a gömböket egymásba vivő (\(\displaystyle A\) középpontú) nagyítás. Mivel a sugarak aránya \(\displaystyle x\), ezért az alapok területeinek aránya \(\displaystyle x^2\) lesz, vagyis a magasságoknak meg kell egyezniük.
Most tekintsük a \(\displaystyle BCD\) síkon lévő érintési pontok és a két gömb közös tengelye által meghatározott síkmetszetet: a közös tengelyre tükrözve a \(\displaystyle BCD\) metszetét megkapjuk a két kör közös belső érintőit. A közös külső érintők pedig a nagyítás miatt átmennek \(\displaystyle A\)-n. Így tehát visszavezettük a hasznos lemmára az állítást, hiszen a tetraéder alapjainak síkmetszete egy piros és egy zöld szakasz egyenese lesz, míg a \(\displaystyle BCD\)-vel vett érintési pontok a másik két színes egyenesen mozognak. A hasznos lemma alapján a két magasság egyenlő, a tetraéder térfogata pedig a \(\displaystyle V = \frac{1}{3}[alap][magasság]\) képlettel adott, így lineárisan függ az alap területétől.
Nagy Nándor, 12. o. t. (Budapesti Fazekas M . Gyak. Ált. Isk. és Gimn.)
Statistics:
14 students sent a solution. 6 points: Beke Csongor, Hervay Bence, Nagy Nándor. 5 points: Fekete Richárd. 4 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 6 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019