Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 5054. (November 2019)

B. 5054. Are there positive integers \(\displaystyle n\) and \(\displaystyle k\) such that

\(\displaystyle 20^k+19^k=2019^n-10^n? \)

Proposed by T. Imre, Marosvásárhely

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy nincsenek ilyen \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egész számok, sőt, a bal és a jobb oldalon álló kifejezés 7-es maradéka semmilyen \(\displaystyle n,k\) esetén nem egyezik.

Mivel \(\displaystyle 2019=288\cdot 7+3\) és \(\displaystyle 10=1\cdot 7+3\) számok 7-es maradéka egyaránt 3, ezért mind a \(\displaystyle 2019^n\), mind a \(\displaystyle 10^n\) szám 7-es maradéka annyi, mint \(\displaystyle 3^n\) szám 7-es maradéka, következésképpen különbségük, vagyis a jobb oldalon álló kifejezés 7-tel osztható. (Ugyanerre egy másik lehetséges indoklás: \(\displaystyle (2019-10)\mid(2019^n-10^n)\) és \(\displaystyle 2019-10=2009=7\cdot 287\).)

Most vizsgáljuk az egyenlet bal oldalán lévő kifejezést. Mivel \(\displaystyle 20=3\cdot 7-1\) és \(\displaystyle 19=3\cdot7-2\), ezért \(\displaystyle 20^k+19^k\) ugyanannyi maradékot ad 7-tel osztva, mint \(\displaystyle (-1)^k+(-2)^k=(-1)^k(1+2^k)\). Tehát a bal oldalon álló kifejezés csak úgy lehetne 7-tel osztható, ha \(\displaystyle 7\mid 2^k+1\) teljesülne. A 2-hatványok 7-es maradéka \(\displaystyle 1,2,4\), majd innen ciklikusan ismétlődik, hiszen a 8 maradéka ismét 1. Ez azt is jelenti, hogy \(\displaystyle 2^k+1\) lehetséges 7-es maradéka \(\displaystyle 2,3,5\), vagyis biztosan nem osztható 7-tel. Így \(\displaystyle 7\nmid 20^k+19^k\).

Tehát minden pozitív egész \(\displaystyle n,k\) szám esetén \(\displaystyle 7\nmid 20^k+19^k\) és \(\displaystyle 7\mid 2019^n-10^n\), ezért nincs olyan \(\displaystyle n,k\), melyekre a \(\displaystyle 20^k+19^k=2019^n-10^n\) egyenlet teljesülne.


Statistics:

99 students sent a solution.
4 points:92 students.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019