Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 5055. (November 2019)

B. 5055. Given a circle \(\displaystyle k\) in the plane, determine the locus of the orthocentres of all triangles inscribed in \(\displaystyle k\).

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az adott \(\displaystyle k\) kör középpontja a \(\displaystyle K\) pont, sugara \(\displaystyle r\). Azt állítjuk, hogy a mértani hely egy \(\displaystyle K\) középpontú \(\displaystyle 3r\) sugarú nyílt körlap. Ennek bizonyításához irányítsunk a \(\displaystyle K\) pontból a háromszög csúcsaiba vektorokat. Ismert, hogy e három vektor összege a háromszög magasságpontjába mutat. Mivel mindegyik vektor hossza éppen \(\displaystyle r\), az összegvektor hossza legfeljebb \(\displaystyle 3r\), továbbá nem eshetnek a csúcsok egybe, így mindenképpen a \(\displaystyle 3r\) sugarú kör belső pontjához jutunk. Másrészt meg kell még mutatnunk, hogy a nyílt körlap bármely pontja lehet egy megfelelő háromszög magasságpontja. Ha ez a pont a \(\displaystyle K\) pont, akkor a háromszög szabályos. Ha egy \(\displaystyle K\)-tól különböző pont az \(\displaystyle M\) magasságpont, akkor vegyük a \(\displaystyle KM\) félegyenest és mérjünk fel erre \(\displaystyle K\)-tól kezdve egy \(\displaystyle r\) hosszúságú vektort.

Ennek a csúcsa legyen a háromszög \(\displaystyle A\) csúcsa. Ezután az \(\displaystyle AM\) szakaszra, mint alapra szerkesszünk egy egyenlő szárú háromszöget, amelynek szárai \(\displaystyle r\) hosszúságúak, a szárak közös végpontja pedig legyen a \(\displaystyle P\) pont. A \(\displaystyle P\) pont biztosan létezik, mert az \(\displaystyle AM\) szakasz hossza kisebb \(\displaystyle 2r\)-nél. Az \(\displaystyle \overrightarrow{AP}\) és a \(\displaystyle \overrightarrow{PM}\) vektorokat a \(\displaystyle K\) pontból felmérve a két vektor csúcsa legyen a \(\displaystyle B\), illetve a \(\displaystyle C\) pont. Így egy olyan \(\displaystyle ABC\) háromszöget adtunk meg, amelynek magasságpontja éppen az \(\displaystyle M\) pont.


Statistics:

97 students sent a solution.
3 points:58 students.
2 points:17 students.
1 point:17 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019