Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 5057. (November 2019)

B. 5057. Let \(\displaystyle D\) and \(\displaystyle E\) be points on leg \(\displaystyle BC\) of a right-angled triangle with hypotenuse \(\displaystyle AB\) such that \(\displaystyle \angle DAC = \angle EAD= \angle BAE\). The feet of the perpendiculars dropped from vertex \(\displaystyle C\) onto the line segment \(\displaystyle AD\) and from point \(\displaystyle D\) onto the hypotenuse \(\displaystyle AB\) are \(\displaystyle F\) and \(\displaystyle K\), respectively. Line \(\displaystyle CK\) intersects line segment \(\displaystyle AE\) at point \(\displaystyle H\), and the parallel line drawn from point \(\displaystyle H\) to the line \(\displaystyle AD\) intersects line segment \(\displaystyle BC\) at point \(\displaystyle M\). Show that point \(\displaystyle F\) is the circumcentre of triangle \(\displaystyle CHM\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Használjuk az ábra jelöléseit.

A szögharmadolás miatt \(\displaystyle KAD\angle=2\alpha/3\), így \(\displaystyle ADK\angle=90^\circ-2\alpha/3\). Az \(\displaystyle AKDC\) húrnégyszög, mivel \(\displaystyle C\)-nél és \(\displaystyle K\)-nál, két szemközti csúcsánál derékszöge van, így az \(\displaystyle AK\) szakasz látószöge a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokból megegyezik, azaz \(\displaystyle ACK\angle=ADK\angle=90^\circ-2\alpha/3\). Ebből, mivel \(\displaystyle C\angle\) is derékszög, \(\displaystyle KCB\angle=2\alpha/3\) következik. Másrészt az \(\displaystyle ADC\) derékszögű háromszögben a szögharmadolás miatt \(\displaystyle DAC\angle=\alpha/3\), ahonnan \(\displaystyle ADC\angle=90^\circ-\alpha/3\). Innen viszont a \(\displaystyle CFD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle FCD\angle=\alpha/3\) adódik, így \(\displaystyle FC\) szögfelező a \(\displaystyle CHM\) háromszögben, \(\displaystyle FCD\angle=FCH\angle=\alpha/3\), továbbá \(\displaystyle CF\perp AD\parallel HM\) miatt \(\displaystyle HMC\) egyenlőszárú, és \(\displaystyle FC\) a \(\displaystyle HM\) oldal felező merőlegese.

Továbbá, a fentiek szerint \(\displaystyle FAH\angle=FCA\angle=\alpha/3\), így \(\displaystyle CAHF\) is húrnégyszög, és \(\displaystyle CAF\angle=FAH\angle\) miatt \(\displaystyle F\) felezi a megfelelő \(\displaystyle CH\) ívet, ebből következően illeszkedik \(\displaystyle CH\) szakaszfelező merőlegesére.

Így \(\displaystyle F\) illeszkedik \(\displaystyle CHM\) két oldalfelező merőlegesére, azaz valóban \(\displaystyle CHM\) körülírt körének középpontja.


Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:Al-Hag Máté Amin, Andó Viola, Arató Zita, Argay Zsolt, Asztalos Ádám, Bán-Szabó Áron, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Biró 424 Ádám, Csizmadia Miklós, Csonka Illés, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Kovács 129 Tamás, Kurucz Máté, Laki Anna, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Mátravölgyi Bence, Mezey Dorottya, Mohay Lili Veronika, Molnár Lehel, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nguyen Bich Diep, Révész Máté, Somogyi Dalma, Szabó 991 Kornél, Sztranyák Gabriella, Szűcs 064 Tamás, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Velich Nóra.
4 points:Baski Bence, Kitschner Bernadett, Kocsis Anett, Móra Márton Barnabás, Osztényi József, Seres-Szabó Márton.
3 points:1 student.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019