Problem B. 5062. (December 2019)
B. 5062. Solve the following simultaneous equations:
$$\begin{align*} x[x]+y[y] & =1,\\ [x]+[y] & =1. \end{align*}$$(MI&Q)
(3 pont)
Deadline expired on January 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\geq y\). Ekkor \(\displaystyle [x]\geq [y]\), így a második egyenlet alapján \(\displaystyle 1\leq [x]\).
Ha \(\displaystyle [x]=1\), akkor \(\displaystyle [y]=0\), és az első egyenlet \(\displaystyle x\cdot 1+y\cdot0 =1\), ami pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=1\). Ekkor \(\displaystyle y\) tehát bármi lehet, csak \(\displaystyle [y]=0\)-nak kell teljesülnie. Tehát ebben az esetben végtelen sok megoldást kapunk: \(\displaystyle x=1,y\in[0,1)\).
Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle [x]\geq 2\). Ekkor a második egyenlet alapján \(\displaystyle [y]=1-[x]\leq -1\). Így az első egyenlet a következő alakban írható:
\(\displaystyle x[x]+y(1-[x])=1.\)
Az egyenlet bal oldalán \(\displaystyle x[x]\geq [x]^2\geq 4\), hiszen \(\displaystyle x\geq [x]\geq 2\). Mivel \(\displaystyle [y]\leq -1\) miatt \(\displaystyle y<0\), valamint \(\displaystyle 1-[x]\leq -1\), így \(\displaystyle y(1-[x])>0\). Vagyis az egyenlet bal oldalán álló kifejezések összege nagyobb, mint 1, következésképpen az egyenlet nem teljesülhet. Tehát \(\displaystyle 1<[x]\) esetén nem kapunk megoldást.
Az \(\displaystyle y\geq x\) esetben a logikai szimmetria alapján az \(\displaystyle y=1,x\in [0,1)\) megoldásokat kapjuk.
Tehát az egyenlet megoldásai: \(\displaystyle x=1,y\in[0,1)\) és \(\displaystyle x\in [0,1),y=1\).
Statistics:
117 students sent a solution. 3 points: Babotán Ákos, Barna-Lázár Anna, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Biczó Benedek, Biró 424 Ádám, Bukva Dávid, Bursics András, Csonka Illés, Czett Mátyás, Egyházi Hanna, Feczkó Nóra, Fekete Richárd, Fey Dávid, Fülöp Csilla, Füredi Erik Benjámin, Gábriel Tamás, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Hervay Bence, Horváth Balázs Szilveszter, Jánosik Máté, Kitschner Bernadett, Kovács Alex, Laki Anna, Lovas Márton, Ludányi Levente, Melján Dávid gergő, Mohay Lili Veronika, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Németh Norbert Marcell, Nguyen Bich Diep, Országh Júlia, Sándor Péter, Seres-Szabó Márton, Szabó 248 Eszter, Szabó 991 Kornél, Szakács Ábel, Székely Milán, Szűcs 064 Tamás, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tóth 057 Bálint, Velich Nóra, Világi Áron, Zempléni Lilla. 2 points: 42 students. 1 point: 20 students. 0 point: 8 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019