Problem B. 5063. (December 2019)

B. 5063. In a triangle \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle BC<AC\) and \(\displaystyle \angle ACB\) is a right angle. The tangents drawn from point \(\displaystyle A\) to the circle of diameter \(\displaystyle BC\) touch it at \(\displaystyle C\) and \(\displaystyle D\). The line of tangent \(\displaystyle AD\) intersects line \(\displaystyle BC\) at point \(\displaystyle E\). The midpoint of line segment \(\displaystyle BC\) is \(\displaystyle O\). Prove that the area of triangle \(\displaystyle DEO\) equals the area of triangle \(\displaystyle AEB\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle A\) pontból a körhöz húzott \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AD\) érintő szakaszok szimmetrikusak az \(\displaystyle AO\) egyenesre; tehát az \(\displaystyle ADOC\) négyszög deltoid, szimmetriatengelye az \(\displaystyle AO\) szakasz, amely egyben a \(\displaystyle COD\) szög felezője is. Az \(\displaystyle ODB\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle OB\) és \(\displaystyle OD\) a kör sugarai; az \(\displaystyle ODB\) háromszög alapja, \(\displaystyle BD\) párhuzamos az \(\displaystyle O\) csúcsból induló külső szögfelezővel, ami \(\displaystyle AO\). Tehát az \(\displaystyle AO\) és a \(\displaystyle BD\) egyenesek párhuzamosak.

A \(\displaystyle DBO\) és \(\displaystyle DBA\) háromszögek \(\displaystyle DB\) oldala közös, az ehhez tartozó magasságuk \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle AO\) párhuzamossága miatt egyenlő, a két háromszög területe tehát megegyezik. Így

\(\displaystyle T_{DEO} = T_{DEB} + T_{DBO} = T_{DEB} + T_{DBA} = T_{AEB}. \)

Statistics:

107 students sent a solution.
3 points:	98 students.
2 points:	8 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019