Problem B. 5065. (December 2019)

B. 5065. The centre of the circumscribed circle of an acute angled triangle \(\displaystyle ABC\) is \(\displaystyle O\), and the reflections of \(\displaystyle O\) in sides \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) and \(\displaystyle AB\) are \(\displaystyle O_A\), \(\displaystyle O_B\), and \(\displaystyle O_C\), respectively. Show that the lines \(\displaystyle AO_A\), \(\displaystyle BO_B\) and \(\displaystyle CO_C\) are concurrent.

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög tetszőleges belső pontja. A feladat állításánál némileg általánosabban belátjuk, hogy a \(\displaystyle P\) pontnak rendre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle AB\) oldalszakaszok \(\displaystyle F_A\), \(\displaystyle F_B\), \(\displaystyle F_C\) felezőpontjára vonatkozó \(\displaystyle P_A\), \(\displaystyle P_B\), \(\displaystyle P_C\) tükörképeire teljesül, hogy az \(\displaystyle AP_A\), \(\displaystyle BP_B\), \(\displaystyle CP_C\) szakaszok felezőpontja közös. (Mivel az \(\displaystyle O\) pont a háromszög mindegyik oldalfelező merőlegesén rajta van, az oldalak felezőpontjára és az oldalegyenesekre való tükörképei egybeesnek.)

Például a \(\displaystyle PP_AP_B\) háromszög \(\displaystyle P_AP_B\)-vel párhuzamos \(\displaystyle F_AF_B\) középvonala egybeesik az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos középvonalával. Ezért az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle P_AP_B\) szakaszok párhuzamosak és egyenlő hosszúságúak, azaz \(\displaystyle ABP_AP_B\) paralelogramma, amelynek \(\displaystyle AP_A\) és \(\displaystyle BP_B\) átlói felezve metszik egymást. Mivel ugyanezzel a gondolatmenettel kapjuk, hogy \(\displaystyle AP_A\) és \(\displaystyle CP_C\) is felezve metszik egymást, a három szakasz felezőpontja egybeesik.

Statistics:

78 students sent a solution.
4 points:	60 students.
3 points:	11 students.
2 points:	6 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019