Problem B. 5078. (February 2020)

B. 5078. Define a sequence \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots\) by the following recurrence relation:

\(\displaystyle a_1=1, \quad a_n=\frac{n+1}{n-1}(a_1+a_2+\dots+a_{n-1}),\quad\text{for \(\displaystyle n>1\).} \)

Determine the value of \(\displaystyle a_{2020}\).

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle s_n:=a_1+a_2+\dots+a_{n}\). Ekkor \(\displaystyle s_1=a_1\) és a rekurzió alapján

\(\displaystyle s_n=s_{n-1}+a_n=s_{n-1}+\frac{n+1}{n-1}s_{n-1}=\frac{2n}{n-1}s_{n-1}.\)

Az így kapott rekurziót ismételten (összesen \(\displaystyle (n-1)\)-szer) használva:

\(\displaystyle s_n=\frac{2n}{n-1}s_{n-1}=\frac{2n}{n-1}\frac{2(n-1)}{n-2}s_{n-2}=\dots=\frac{2n}{n-1}\frac{2(n-1)}{n-2}\dots \frac{2\cdot 2}{1}s_{1}=2^{n-1}n,\)

felhasználva, hogy \(\displaystyle s_1=1\), és a 2-es tényezők kiemelése után maradó teleszkopikus szorzatot egyszerűsítve.

Így \(\displaystyle a_n=s_n-s_{n-1}=2^{n-1}n-2^{n-2}(n-1)=2^{n-2}(2n-(n-1))=2^{n-2}(n+1)\), speciálisan \(\displaystyle a_{2020}=2^{2018}\cdot 2021\).

Statistics:

96 students sent a solution.
4 points:	85 students.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020