Problem B. 5079. (February 2020)

B. 5079. Solve the equation

\(\displaystyle \log_2 \log_3 x+\log_3\log_2 x=\log_2\frac{6}{\log_2 3} \)

over the set of real numbers.

Proposed by B. Bíró, Eger

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ahhoz, hogy az egyenlet értelmes legyen az kell, hogy \(\displaystyle x,\log_3 x,\log_2 x\) értéke pozitív legyen, vagyis \(\displaystyle x>1\) teljesüljön.

Tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle x>1\), és végezzünk ekvivalens átalakításokat az egyenleten a logaritmus azonosságait használva:

\(\displaystyle \log_2 \log_3 x+\log_3\log_2 x=\log_2\frac{6}{\log_2 3},\)

\(\displaystyle \log_2 \frac{\log_2 x}{\log_2 3}+\log_3\log_2 x=\log_2\frac{6}{\log_2 3},\)

\(\displaystyle \log_2 \log_2 x- \log_2 \log_2 3 +\log_3\log_2 x=\log_2 6 -\log_2 \log_2 3,\)

\(\displaystyle \log_2 \log_2 x +\log_3\log_2 x=\log_2 6,\)

\(\displaystyle \log_2 \log_2 x +\frac{\log_2 \log_2 x}{\log_2 3}=\log_2 6,\)

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{\log_2 3} \right)\log_2\log_2 x=1+\log_2 3,\)

\(\displaystyle \log_2\log_2 x=\log_2 3.\)

Mivel a \(\displaystyle \log_2\) függvény szigorúan monoton, ezért ezzel ekvivalens a következő:

\(\displaystyle \log_2 x=3,\)

vagyis \(\displaystyle x=2^3=8\). Mivel végig ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre (és a 8 az értelmezési tartományhoz tartozik), így az egyenletnek egyetlen megoldása van, éspedig \(\displaystyle x=8\).

Megjegyzés. Megjegyezzük, hogy a logaritmus-függvény tulajdonságai alapján az eredeti egyenlet bal oldala szigorúan monoton növekedő az \(\displaystyle (1,\infty)\) intervallumon, tehát világos, hogy az egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. (Az \(\displaystyle 1+\) és \(\displaystyle \infty\)-beli határértékeket vizsgálva, és a folytonosságot használva az is következik, hogy van megoldás.) Tehát elegendő megtalálni és bizonyítani, hogy \(\displaystyle x=8\) megoldás.

Statistics:

88 students sent a solution.
3 points:	60 students.
2 points:	19 students.
1 point:	5 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020