Problem B. 5080. (February 2020)

B. 5080. Let \(\displaystyle D\) denote the midpoint of the base \(\displaystyle AB\) in an isosceles triangle \(\displaystyle ABC\). Let \(\displaystyle H\) be the point lying closer to \(\displaystyle C\) that divides the leg \(\displaystyle AC\) in a \(\displaystyle 1:2\) ratio. The circle \(\displaystyle BCH\) intersects line \(\displaystyle CD\) at the points \(\displaystyle C\) and \(\displaystyle X\). Show that \(\displaystyle CX=\frac 43r\), where \(\displaystyle r\) is the radius of the circle \(\displaystyle ABC\).

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a körülírt kör középpontja \(\displaystyle O\), és a körülírt körön a \(\displaystyle C\)-vel átellenes pont \(\displaystyle F\). Azt fogjuk igazolni, hogy \(\displaystyle OX:OF=1:3\). Mivel \(\displaystyle OC=OF=r\), ebből következik, hogy \(\displaystyle CX=OC+OX=OC+\frac13OF=\frac43r\).

A kerületi és középponti szögek tételéből

\(\displaystyle FOB\measuredangle = 2\cdot FCB\measuredangle = ACB\measuredangle, \)

\(\displaystyle BXC\measuredangle = BHC\measuredangle, \)

továbbá

\(\displaystyle BFC\measuredangle = BAC\measuredangle.\)

Az egyenlő szögekből látjuk, hogy \(\displaystyle BCH\triangle\sim BOX\triangle\) és \(\displaystyle ABC\triangle\sim FBO\triangle\). Ezért

\(\displaystyle \frac{OX}{OF} = \frac{OX}{OB} \cdot \frac{OB}{OF} = \frac{CH}{CB} \cdot \frac{CB}{CA} = \frac{CH}{CA} = \frac13, \)

és éppen ezt akartuk igazolni.

Megjegyzés. Annak, hogy \(\displaystyle H\) éppen harmadolja a \(\displaystyle CA\) szakaszt, a megoldás menete szempontjából nincs jelentősége; más \(\displaystyle CH:CA\) arányok esetén is ugyanez a számolás működik, csak a kapott \(\displaystyle CX:r\) arány lesz más.

Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:	57 students.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020