Problem B. 5081. (February 2020)
B. 5081. In a triangle, the medians drawn to sides \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) are perpendicular. Prove that \(\displaystyle \frac 12<\frac ab<2\).
(3 pont)
Deadline expired on March 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Pitagorasz tétele és a paralelogramma-tétel szerint
\(\displaystyle c^2=\frac{4}{9}(s_a^2 + s_b^2)=\frac{(-a^2+2b^2+2c^2)+(2a^2-b^2+2c^2)}{9}=\frac{a^2+b^2+4c^2}{9}, \)
rendezve \(\displaystyle 5c^2=a^2+b^2\). A koszinusz-tétel alapján ez \(\displaystyle 5(a^2+b^2-2ab\cos\gamma)=a^2+b^2\). Mivel a súlyvonalak a háromszög belsejében haladnak, a megfelelő oldalak szögénél nagyobb szöget zárnak be; esetünkben ezért \(\displaystyle \cos\gamma < 1\). Így \(\displaystyle 1 > \cos\gamma = \frac{2}{5}\frac{a^2+b^2}{ab}= \frac{2}{5}(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})\). Ez \(\displaystyle h:=\frac{a}{b}\)-re a másodfokú \(\displaystyle 0 > 2h^2-5h+2\) egyenlőtlenséget adja, melynek megoldása \(\displaystyle \frac{1}{2} < h < 2\).
Statistics:
85 students sent a solution. 3 points: 71 students. 2 points: 7 students. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020