Problem B. 5083. (February 2020)

B. 5083. Is there a polynomial \(\displaystyle p(x)\) of degree 100 with real coefficients for which the polynomial \(\displaystyle p\big(p(x)\big)\) has 10000 distinct real roots?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Megmutatjuk, hogy van ilyen polinom, például a

\(\displaystyle p(x)=(x-1)(x-2)\dots(x-100)\)

polinom megfelelő. Világos, hogy ez egy 100-adfokú valós együtthatós polinom, melynek 100 gyöke van: \(\displaystyle 1,2,\dots,100\). A \(\displaystyle p(p(x))\) polinomnak tehát pontosan azon \(\displaystyle x\) számok a gyökei, melyekre \(\displaystyle p(x)\in \{1,2,\dots,100\}\). Mivel bármely \(\displaystyle c\in \{1,2,\dots,100\}\) esetén a \(\displaystyle p(x)-c\) polinom 100-adfokú, ezért csak úgy kaphatunk \(\displaystyle 10\,000\) különböző valós gyököt, ha \(\displaystyle p(x)\) az \(\displaystyle 1,2,\dots,100\) értékek mindegyikét 100-szor veszi fel. A \(\displaystyle p\) polinom a gyökeinél vált előjelet, így \(\displaystyle p(x)\) pontosan akkor pozitív, ha \(\displaystyle x\in (-\infty,1)\cup(2,3)\cup (4,5)\cup\dots\cup (98,99)\cup(100,\infty)\).

Mivel \(\displaystyle \lim\limits_{x\to -\infty}p(x)=\lim\limits_{x\to \infty}p(x)=\infty\), ezért a \(\displaystyle (-\infty,1)\) és \(\displaystyle (100,\infty)\) intervallumokon az \(\displaystyle 1,2,\dots,100\) értékek mindegyikét felveszi \(\displaystyle p\) (valójában pontosan egyszer, hiszen ezeken az intervallumokon \(\displaystyle p\) monoton).

Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle (2,3),(4,5),\dots,(98,99)\) intervallumok (ez összesen 49 darab intervallum) mindegyikében kétszer veszi fel az \(\displaystyle 1,2,\dots,100\) értékek mindegyikét. (Ebből már következik, hogy valóban mind a 100 értékét 100-szor felveszi.) Ehhez elég megmutatni, hogy mind a 49 intervallumon belül a lokális maximum értéke 100-nál nagyobb. (Mivel az intervallumok végpontjaiban a függvény értéke 0, a folytonosság miatt minden pozitív, de a lokális maximumnál kisebb értéket kétszer is felvesz az intervallumon belül. (Valójában a polinom függvényvizsgálatával megállapítható, hogy ezeket pontosan kétszer veszi fel, a lokális maximumot pedig egyszer, de a megoldásban ezt nem használjuk ki.)

Legyen tehát \(\displaystyle i\in \{2,4,\dots,98\}\) és tekintsük az \(\displaystyle (i,i+1)\) intervallumot. Helyettesítsünk be a \(\displaystyle p(x)\) polinomba \(\displaystyle x=i+1/2\)-et:

\(\displaystyle p(i+1/2)=(i-1/2)(i-3/2)\dots(i-199/2).\)

Már megállapítottuk, hogy ez egy pozitív szorzat, most vizsgáljuk az abszolút értékét. A tényezők között kettő olyan van, melynek abszolút értéke 1 alatti: \(\displaystyle |i+1/2-i|=|i+1/2-(i+1)|=1/2\). Ha \(\displaystyle i\in \{2,4,\dots,48\}\), akkor

\(\displaystyle |i+1/2-99|\cdot |i+1/2-100|\geq 50,5\cdot 51,5,\)

így a teljes szorzat legalább \(\displaystyle 0,5\cdot 0,5\cdot 50,5\cdot 51,5>100\). Ehhez hasonlóan, ha \(\displaystyle i\in \{50,52,\dots,98\}\), akkor

\(\displaystyle |i+1/2-1|\cdot |i+1/2-2|\geq 49,5\cdot 48,5,\)

így a teljes szorzat ekkor is nagyobb, mint 100.

Ezzel megmutattuk, hogy mind a 49 intervallumban 100-nál nagyobb a lokális maximum, amiből a fentitek alapján következik, hogy \(\displaystyle p(x)\) az \(\displaystyle 1,2,\dots,100\) értékek mindegyikét 100-szor veszi fel, és így a \(\displaystyle p(p(x))\) polinomnak \(\displaystyle 100\cdot 100=10\,000\) gyöke van.

Tehát valóban létezik a feltételeknek megfelelő polinom.

2. megoldás. Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle T_{100}(x)\) polinom ilyen, ahol \(\displaystyle T_{n}(x)\) az \(\displaystyle n\)-edik elsőfajú Csebisev polinom: az az \(\displaystyle n\)-edfokú polinom, amelyre bármely \(\displaystyle \alpha\) esetén \(\displaystyle T_{n}(\cos\alpha)=\cos(n\alpha)\). Erre a polinomra

\(\displaystyle T_{100}(T_{100}(\cos\alpha)) = T_{100}(\cos(100\alpha)) = \cos(10\,000\alpha), \)

vagyis

\(\displaystyle T_{100}(T_{100}(x))=T_{10\,000}(x). \)

A \(\displaystyle T_{10\,000}(x)\) polinomnak \(\displaystyle 10\,000\) különböző valós gyöke van: a \(\displaystyle \cos{\frac{(2k-1)\pi}{20\,000}}\) alakú számok \(\displaystyle (k=1,2,\ldots,10\,000)\).

Statistics:

38 students sent a solution.
5 points:	Argay Zsolt, Baski Bence, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Bognár 171 András Károly, Bukva Dávid, Csizmadia Miklós, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Hámori Janka, Hervay Bence, Kerekes Boldizsár, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Mácsai Dániel, Metzger Ábris András, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Nguyen Bich Diep, Szabó 991 Kornél, Sztranyák Gabriella, Szűcs 064 Tamás, Terjék András József.
4 points:	Bán-Szabó Áron, Gábriel Tamás, Jánosik Máté, Kushal Thaman, Lovas Márton, Mátravölgyi Bence, Németh Márton, Osztényi József, Seres-Szabó Márton, Török Mátyás, Velich Nóra.
3 points:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020