Problem B. 5085. (February 2020)
B. 5085. Show that a regular heptagon can be dissected into a finite number of symmetrical trapezoids, all similar to each other.
Proposed by M. Laczkovich, Budapest
(6 pont)
Deadline expired on March 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A hétszöget olyan trapézokra fogjuk bontani, amelyeknek szögei \(\displaystyle 2\cdot\frac{180^\circ}7\) és \(\displaystyle 5\cdot\frac{180^\circ}7\) nagyságúak. A trapézok szárának és alapjainak aránya \(\displaystyle 1:a:b\) lesz, később meghatározandó \(\displaystyle a,b>0\) számokkal, ahol persze \(\displaystyle b-a=2\cos\frac{360^\circ}7\approx 1,2469796\) (baloldali ábra).
Egy-egy \(\displaystyle b\), \(\displaystyle b(b-1)\), illetve \(\displaystyle 1+a(b-1)\) szárú trapézból rakjuk ki a jobb oldali ábrán látható \(\displaystyle OACDFG\) hatszöget. Mint látható, az \(\displaystyle ABHO\) trapéz hosszabbik alapja valóban \(\displaystyle b\cdot AO=b^2=HG+GO\), a \(\displaystyle BCDE\) trapéz hosszabbik alapja pedig \(\displaystyle b\cdot BC=b+ab(b-1)=BH+HE\).
Válasszuk az \(\displaystyle a,b\) számokat úgy, hogy az is teljesüljön, hogy \(\displaystyle AC=GF\), azaz
\(\displaystyle ab+\big(1+a(b-1)\big) = b^2(b-1). \)
Behelyettesítve \(\displaystyle a=(b-2\cos\frac{360^\circ}7)\)-t és rendezve,
\(\displaystyle b^3-3b^2+\left(4\cos\frac{360^\circ}7+1\right)\cdot b-\left(2\cos\frac{360^\circ}7+1\right) =0, \)
vagy az együtthatók közelítő értékeivel
\(\displaystyle b^3-3b^2+3,4939592\cdot b-2,2469796 \approx 0. \)
Ennek a harmadfokú egyenletnek a legnagyobb valós gyöke \(\displaystyle b\approx1.731628\), a hozzá tartozó \(\displaystyle a\) érték \(\displaystyle a\approx0.484649\).
Ha ezekkel az \(\displaystyle a,b\) értékekkel építjük fel az \(\displaystyle OACDFG\) hatszöget, és a hatszöget az \(\displaystyle O\) pont körül a \(\displaystyle \frac{360^\circ}{7}\) többszöröseivel elforgatjuk, a hét elforgatott hatszög kiad egy szabályos hétszöget.
Statistics:
4 students sent a solution. 4 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020