A B. 5086. feladat (2020. március)

B. 5086. Oldjuk meg az \(\displaystyle \big(x^3-y^2\big)^2= \big(x^2-y^3\big)^2\) egyenletet az egész számpárok halmazán.

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x^3-y^2=x^2-y^3\) vagy \(\displaystyle x^3-y^2=-(x^2-y^3)\), ezt a két esetet külön vizsgáljuk meg.

1. eset: \(\displaystyle x^3-y^2=x^2-y^3\).
Az egyenletet átrendezve:

\(\displaystyle x^3+y^3=x^2+y^2.\)

A jobb oldal nemnegatív, így \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közül legalább az egyik nemnegatív. Először tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) is nemnegatív. Ekkor \(\displaystyle x^3\geq x^2\) és \(\displaystyle y^3\geq y^2\), és egyenlőség csak \(\displaystyle x\in \{0,1\}\), illetve \(\displaystyle y\in \{0,1\}\) esetén teljesül. Ahhoz, hogy megoldást kapjunk, mindkét esetben egyenlőségnek kell fennállnia, így kapjuk az \(\displaystyle (x,y)=(0,0), (0,1)\), \(\displaystyle (1,0)\) vagy \(\displaystyle (1,1)\) megoldásokat. Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valamelyike negatív, mondjuk \(\displaystyle y<0\leq x\). (Az \(\displaystyle x<0\leq y\) eset ugyanígy vizsgálható.) Mivel \(\displaystyle x^3+y^3\geq 0\), ezért \(\displaystyle -y=|y|\leq |x|=x\). Ha \(\displaystyle -y=x\), akkor \(\displaystyle x^3+y^3=0\), így \(\displaystyle x^2+y^2=0\), ami csak \(\displaystyle (x,y)=(0,0)\)-ra teljesül, azonban ilyenkor \(\displaystyle y\) nem negatív. Végül vizsgáljuk az \(\displaystyle |y|<|x|\) esetet, ekkor \(\displaystyle x^3+y^3\geq x^3-(x-1)^3=3x^2-3x+1\). Ugyanakkor \(\displaystyle x^2+y^2\leq x^2+(x-1)^2=2x^2-2x+1\). Tehát:

\(\displaystyle 3x^2-3x+1\leq x^3+y^3=x^2+y^2\leq x^2+(x-1)^2=2x^2-2x+1,\)

és ezért

\(\displaystyle x(x-1)=x^2-x\leq 0.\)

Ezzel azonban ismét ellentmondásra jutottunk, ugyanis \(\displaystyle y\) egy negatív egész szám, és \(\displaystyle |y|<|x|=x\) miatt \(\displaystyle x\geq 2\). Tehát nem kapunk újabb megoldást.

2. eset: \(\displaystyle x^3-y^2=-(x^2-y^3)\).
Az egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x^3-y^3+x^2-y^2=0,\)

majd szorzattá alakítva:

\(\displaystyle (x-y)(x^2+xy+y^2+x+y)=0.\)

Ez pontosan akkor teljesül, ha valamelyik szorzótényező 0. Ha \(\displaystyle x-y=0\), akkor \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közös értéke bármely egész szám lehet, ezzel végtelen sok megoldást kapunk: \(\displaystyle (x=n,y=n)\) (ahol \(\displaystyle n\) egész szám). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle x-y\ne 0\), azaz \(\displaystyle x\ne y\). Ekkor \(\displaystyle x^2+xy+y^2+x+y=0\) kell legyen. Az egyenletet 2-vel szorozva, mindkét oldalhoz 2-t adva:

\(\displaystyle 2x^2+2xy+2y^2+2x+2y+2=2,\)

majd a bal oldalt teljes négyzetek összegeként felírva:

\(\displaystyle (x+y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=2.\)

Három egész szám négyzetének összege csak úgy lehet 2, ha kettő közülük 1, egy pedig 0. Speciálisan, \(\displaystyle |x+1|\leq 1,|y+1|\leq 1\), amiből \(\displaystyle x,y\in \{-2,-1,0\}\). Ugyanakkor \(\displaystyle -1\leq x+y\), és ezt a korábbiakkal egybevetve \(\displaystyle x,y\in \{-1,0\}\). Mivel \(\displaystyle x\ne y\), ezért csak \(\displaystyle (x,y)=(-1,0)\) és \(\displaystyle (x,y)=(0,-1)\) lehet, ezek pedig valóban megoldást adnak.

Az egyenlet megoldásai tehát: \(\displaystyle (n,n)\) (ahol \(\displaystyle n\) tetszőleges egész szám), \(\displaystyle (-1,0)\), \(\displaystyle (0,-1)\), \(\displaystyle (0,1)\), \(\displaystyle (1,0)\).

Statisztika:

88 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	59 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai